点的投影规律

2.3.2　点的投影规律

从图2-11中可以看出，空间点A在三投影面体系中有唯一确定的一组投影（a、a′、a″），反之如已知点A的三面投影即可确定点A的坐标值，也就确定了其空间位置。因此可以得出点的投影规律：

（1）点的V面与H面的投影连线垂直于OX轴，即a′ a⊥OX。这两个投影都反映空间点到W面的距离即X坐标：a′a_Z=aa_YH=x_A 。

（2）点的V面与W面投影连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。这两个投影都反映空间点到H面的距离即Z坐标：a′a_X=a″a_YW=z_A。

（3）点的H面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OZ轴的距离。这两个投影都反映空间点到V面的距离即Y坐标：aa_X=a″a_Z=Y_A。

实际上，上述点的投影规律也体现了三视图的“长对正、高平齐、宽相等”。

作图时，为了表示aa_X=a″a_z的关系，常用过原点O的45°辅助线把点的H面与W面投影关系联系起来，如图2-11（c）所示。

点的三个坐标值（x、y、z）分别反映了点到W、V、H面之间的距离。根据点的投影规律，可由点的坐标画出三面投影并作出直观图，也可根据点的两个投影作出第三投影。

【例2-1】　已知点A的两面投影和点B的坐标为（25、20、30），求点A的第三面投影及点B的三面投影，（如图2-12（a）所示）。

作法：

（1）求A点的侧面投影

如图2-12（b）所示，先过原点O作45°辅助线。过a作平行于OX轴的直线与45°辅助线相交于一点，过交点作垂直于OY_W的直线，该直线与过a′平行于OX轴的直线相交于一点即为所求侧面投影a″。

（2）求B点的三面投影

如图2-12（b）所示，在OX轴上取Obx=25mm，得点bx，过bx作OX轴的垂线，取b′bx=30 mm，得点b′，取bbx=20 mm，得点b；同求A点的侧面投影一样，可求得点B的侧面投影b″。答案见图2-12（b）。

【例2-2】　已知点A（40、20、30），试作出其直观图。

作法：

图2-12　求作点的投影

（1）首先作X、Y、Z轴的轴测图，通常将OX轴画成水平位置，OZ轴与OX轴垂直，OY轴与水平线成45°角，如图2-13（a）所示。

图2-13　点的直观图作法

（2）作H、V、W面的轴测图。作投影面的边框线使之与相应的投影轴平行，并在三投影轴上自点O按1∶1比例截取点A的坐标得a_x、a_y、a_z，如图2-13（b）所示。

（3）作点A的三面投影的直观图，如图2-13（c）所示。

（4）过a、a′、a″分别作H、V、W面的垂线，交点即为A点的空间位置直观图，如图2-13（d）所示。