圆曲线的最大坡度

10.3　曲线、曲面的标高投影

10.3.1　曲线的标高投影

曲线的标高投影一般可以由它的水平投影和曲线上一系列点的标高投影来表示，可以不标明曲线上各点的投影符号字母，而只表示出各点的水平投影位置并标注标高。

10.3.2　曲面的标高投影

这里只以圆锥面、斜圆锥面和同坡曲面为例说明曲面的标高投影的一般表示法及其应用。若曲面各处的坡度都相等，则称为同坡曲面；圆锥面是同坡曲面，而斜圆锥面则不是同坡曲面。

1.圆锥面和斜圆锥面的标高投影

曲面的标高投影一般可以由曲面上的一组等高线来表示，通常用一组间隔相等的整数标高的水平面截切曲面所得的等高线来表示。在标高投影图中，圆锥面的底圆为水平面。用一组间隔相等的水平面与圆锥相交，截交线都为圆。用这组标有高度值的圆的水平投影来表示圆锥。如图10-14所示，直圆锥面标高投影是一组同心圆，斜圆锥面的标高投影是一组偏心圆。

图10-14　圆锥面和斜圆锥面的标高投影

显然，当圆锥正放时，等高线的高程值愈大，则圆的直径愈小；当圆锥倒放时，等高线的高程值愈大，则圆的直径愈大。

圆锥面在各处的坡度线。它们与各等高线的交点就是坡度线上的刻度点，由于等高线都是间距相等的同心圆，所以各处坡度线的相邻刻度点之间的平距都相等，圆锥面的坡度处处相等，属于同坡曲面。在土木、水利工程中，常在两坡面的转角处采用坡度相同的锥面过渡。斜圆锥面上的素线的水平投影，即斜圆锥面在各处的坡度线。虽然每条坡度线与等高线交得的相邻刻度点之间的平距都各自相等，但各坡度线的平距除了对称面上的两条线外，都彼此不相等，因而斜圆锥面不是同坡曲面。

在斜圆锥面等高线密集的地方，坡度线的平距小，坡度大，该处的素线陡峭，在斜圆锥面等高线稀疏的地方，坡度线的平距大，坡度小，该处的素线较平缓。

2.同坡曲面的标高投影

各处的坡度都相等的曲面，称为同坡曲面。同坡曲面在土木、水利工程中被广泛应用。只要稍加注意就会发现在道路的弯道处，其边坡总是做成同坡曲面。同坡曲面还可以看做将圆锥的轴线始终保持铅垂、锥顶沿着空间曲线(称为顶边曲线)运动的正圆锥面的包络面，也就是与这些圆锥面都相切的曲面，如图10-15所示。从图中可以看出：同坡曲面是直纹面，同坡曲面与圆锥面相切于圆锥面上的每一条直素线是同坡曲面在该处的坡度线，它的坡度等于圆锥锥顶半角的余切。在同坡曲面上需画出示坡线，各处的示坡线的方向应与该处的坡度线方向相同或相接近。

图10-15　同坡曲面

用水平面与各圆锥面相交，交线为一组水平的纬圆，在同一水平面上各纬圆的包络线，即公切的曲线，就是同坡曲面上的等高线，切点也就是同坡曲面的等高线和同坡曲面与圆锥面相切的坡度线的交点。

例10-6　如图10-16所示，已知同坡曲面上的顶边曲线的标高投影，曲线上的点A的标高投影为a₆，曲线的坡度i₀=1∶5，同坡曲面的坡度i=1∶2.5和坡面的下降方向。试作同坡曲面上整数高程的等高线。

图10-16　例10-6图

作图　(1)因顶边曲线上高差为1m的整数高程点的平距，从a₆往左，以5m的平距依次在顶边曲线上量得点b₅、c₄、d₃。

(2)同坡曲面上高差为1m的整数高程的等高线的平距，以c₄、b₅、a₆为圆心，分别以2.5m、5m、7.5m为半径画圆和同心圆，即为相应各圆锥面的等高线。

(3)作各圆锥面相同高程的等高线纬圆的包络线，得同坡曲面上高程为3、4、5、6的等高线。

例10-7　已知地面的高程为15m，有一条弯曲的斜引道与高程为19m的平台相连，所有的填筑坡面的坡度，如图10-17所示。试作各坡边线和坡面间的交线。

图10-17　例10-7图

作图　(1)弯道路面两侧坡面上等高线的高差为1m，相应的平距。以弯道两侧边线上的高程点16m、17m、18m为圆心，分别以1m、2m、3m、4m为半径画圆和同心圆，即为各圆锥面的等高线。

(2)作各圆锥面相同高程的等高线纬圆的包络线，得弯道两侧同坡曲面上相应高程等高线15m、16m、17m、18m。

(3)以L=(19–15)×1m=4m作出高程为19m的平台与右侧地面的交线。在填筑坡面高程为19m与15m的等高线之间，以平距1m插入高程为19m与15m的16m、17m、18m。两组相同高程的等高线相交，用光滑曲线连接各点，即为同坡曲面与平台坡面的交线。

同坡曲面、平台坡面与地面的交线，就是各坡坡面上高程为15m的等高线。

(4)同坡曲面上画出全部或部分示坡线。它是相应切点的连线，与坡面上的等高线正交。