2.3.5 网络计划的优化
网络计划经绘制和计算后，可得出最初方案。网络计划的最初方案只是一种可行方案，不一定是合乎规定要求的方案或最优方案。为此，还必须进行网络计划的优化。
网络计划的优化，是在满足既定约束条件下，按某一目标，通过不断改进网络计划寻求满意方案。网络计划的优化目标应按计划任务的需要和条件选定，一般有工期目标、费用目标和资源目标等。网络计划优化的内容包括工期优化、费用优化和资源优化。
2.3.5.1 工期优化
1.概念
工期优化是指在一定的约束条件下，以合同工期为目标，在计算工期的基础上通过延长或缩短计算工期，从而达到合同工期的要求。
提示:工期优化的目的是使网络计划满足要求工期，保证按期完成工程任务。工期优化是通过调整关键线路上关键工作的持续时间来满足工期要求的。
2.压缩关键工作考虑的因素
压缩关键工作应考虑以下因素:
①压缩对质量、安全影响不大的工作。
②压缩有充足备用资源的工作。
③压缩增加费用最少的工作，即压缩直接费费率、赶工费费率或优选系数最小的工作。
3.压缩方法
压缩的方法如下:
①当只有一条关键线路时，在其他情况均能保证的条件下，压缩直接费费率、赶工费费率或优选系数最小的关键工作。
②当有多条关键线路时，各条关键线路应同时压缩相同的数值，压缩直接费费率、赶工费费率或优选系数组合最小者。
注意:由于压缩过程中非关键线路可能转为关键线路，切忌压缩“一步到位”。
图2.3.45 某施工网络计划
4.举例
【例12】某施工网络计划在⑤节点之前已延迟15天，施工网络图如图2.3.45所示。为保证原工期，试进行工期优化(图中箭线上部的数字表示压缩一天增加的费率，单位为元/天;下部括弧外的数字表示工作正常作业时间;括弧内的数字表示工作极限作业时间)。
解:(1)找关键线路
在原正常持续时间状态下关键线路如图2.3.46双线所示。
图2.3.46 正常持续时间的网络计划
(2)压缩关键线路上关键工作持续时间
图2.3.46网络计划只有一条关键线路，应压缩直接费费率最小的工作。
第一次压缩:压缩⑤→⑥工作5天，由于考虑压缩的关键工作⑤→⑥、⑥→⑨、⑨→⑩直接费费率分别为200元/天、300元/天、420元/天，所以选择压缩⑤→⑥工作，直接费增加200×5= 1 000元，得到如图2.3.47所示的新计划，有一条关键线路，工期仍拖延10天，故应进一步压缩。
第二次压缩:关键线路为⑤→⑥→⑨→⑩，由于⑤→⑥工作不能再压缩，只能选择压缩关键工作⑥→⑨工作或⑨→⑩工作。压缩⑥→⑨工作和⑨→⑩工作的直接费费率分别为300元/天、420元/天，所以应压缩⑥→⑨工作5天，直接费增加300×5= 1 500元。得到如图2.3.48所示的网络计划，有两条关键线路，此时工期仍拖延5天，故应进一步压缩。
图2.3.47 第一次压缩后的网络计划
图2.3.48 第二次压缩后的网络计划
图2.3.49 第三次压缩后的网络计划
第三次压缩:当第二次压缩后计划变成工⑤→⑥→⑦→⑨→⑩、⑤→⑥→⑨→⑩两条关键线路，应同时压缩组合直接费率最小的工作。所以，应在同时压缩⑥→⑦和⑥→⑨、同时压缩⑦→⑨和⑥→⑨与压缩⑨→⑩作三种方案中选择。上述三种方案压缩时组合直接费费率分别为400元/天、450元/天和420元/天，因而第三次压缩选择同时压缩⑥→⑦和⑥→⑨的工作3天，直接费增加400×3= 1 200元。如图2.3.49所示，网络计划仍有两条关键线路不变。工期仍拖延2天，需继续压缩。
第四次压缩:由于⑥→⑦工作不能再压缩，所以选择同时压缩⑦→⑨和⑥→⑨与仅压缩⑨→⑩两种情况。同时压缩⑦→⑨和⑥→⑨工作，直接费费率为450元/天，仅压缩⑨→⑩直接费费率为420元/天，所以选择压缩⑨→⑩工作2天，如图2.3.50所示，可以保证原工期，直接费增加420×2=840元。为保证原工期，共赶工15天，直接费共增加4 540元。
图2.3.50 第四次压缩后的网络计划
2.3.5.2 费用优化
图2.3.51 费用—工期曲线
T l—最短工期;T0—最优工期; T N—正常工期
费用优化一般是指费用—工期优化。在网络计划中，工期与费用的均衡是一个重要的问题，如何使计划以较短的工期和较少的费用完成，就必须研究时间和费用的关系，以寻求与最
提示:直接费由人工费、材料费、机械费、措施费等组成，间接费包括管理费等内容。
低的费用相对应的最优工期方案或者按要求工期寻求最低费用的优化压缩方案。
1.工程费用与时间的关系
1)工程费用与工期的关系 工程总费用由直接费和间接费组成。施工方案不同，直接费也就不同。如果施工方案一定，工期不同，直接费也不同。直接费会随着工期的缩短而增加，间接费一般随着工期的缩短而减少。
工程费用与工期的关系如图2.3.51所示。由图2.3.51可知:确定一个合理的工期，就能使总费用达到最小，这也是费用优化的目标。
2)工作直接费与持续时间的关系 由于网络计划的工期取决于关键工作的持续时间，为了进行工期优化，必须分析网络计划中各项工作的直接费与持续时间的关系，它是网络计划工期成本优化的基础。
工作的直接费随着持续时间的缩短而增加，如图2.3.52中的曲线所示。
图2.3.52 工作直接费与持续时间的关系曲线
为简化计算，工作的直接费与持续时间之间的关系被近似地认为是一条直线。工作的持续时间每缩短单位时间而增加的直接费称为直接费用率，直接费用率可按下式计算:
式中:ΔCi—j——工作i—j的直接费用率;
CCi—j——按最短(极限)持续时间完成工作i—j时所需的直接费;
CNi—j——按正常持续时间完成工作i—j时所需的直接费;
DNi—j——工作i—j的正常持续时间;
DCi—j——工作i—j的最短(极限)持续时间。
2.费用优化方法
费用优化的基本思路:不断地在网络计划中找出直接费用率(或组合直接费用率)最小的关键工作，缩短其持续时间，同时考虑间接费用随工期缩短而减少的数值，最后求得工程总成本最低时的最优工期安排或按要求工期求得最低成本的计划安排。
按照上述基本思路，费用优化可按以下步骤进行。
①按工作的正常持续时间确定计算工期和关键线路。
②计算各项工作的直接费用率。
③当只有一条关键线路时，应找出组合直接费用率最小的一项关键工作，作为缩短持续时间的对象;当有多条关键线路时，应找出组合直接费用率最小的一组关键工作，作为缩短持续时间的对象。
④对于选定的压缩对象(一项关键工作或一组关键工作)，首先要比较其直接费用率或组合直接费用率与工程间接费用率的大小，然后再进行压缩。压缩方法如下。
如果被压缩对象的直接费用率或组合直接费用率大于工程间接费用率，说明压缩关键工作的持续时间会使工程总费用增加，此时应停止缩短关键工作的持续时间，在此之前的方案即为优化方案。
如果被压缩对象的直接费用率或组合直接费用率等于工程间接费用率，说明压缩关键工作的持续时间不会使工程总费用增加，故应缩短关键工作的持续时间。
如果被压缩对象的直接费用率或组合直接费用率小于工程间接费用率，说明压缩关键工作的持续时间会使工程总费用减少，故应缩短关键工作的持续时间。
⑤当需要缩短关键工作的持续时间时，其缩短值的确定必须符合下列两条原则。
缩短后工作的持续时间不能小于其最短持续时间。
缩短持续时间的工作不能变成非关键工作。
⑥计算关键工作持续时间缩短后相应的总费用。计算公式如下:
优化后工程总费用=初始网络计划的费用+直接费增加费－间接费减少费 (2.3.49)
⑦重复上述③～⑥，直至计算工期满足要求工期或被压缩对象的直接费用率或组合直接费用率大于工程间接费用率为止。
⑧计算优化后的工程总费用。
3.优化举例
【例13】某网络计划，其各工作的持续时间如图2.3.53所示，直接费见表2.3.16所示。已知间接费费率为120元/天，试进行费用优化。
图2.3.53 某施工网络计划
表2.3.16 各工作持续时间及直接费用率
图2.3.54 正常持续时间的网络计划
解:(1)按工作的正常持续时间确定计算工期和关键线路
计算工期和关键线路如图2.3.54所示。
计算工期T= 96天，关键线路为①→③→④→⑥。此时初始网络计划的费用为52 500元，由各工作作业时间乘以其直接费费率加上初始工期乘以间接费费率得到。
(2)根据关键线路上各关键工作直接费费率压缩工期
由于①→③，③→④，④→⑥工作的直接费费率分别为100元/天、143元/天和57元/天，首先压缩关键工作④→⑥工作12天，压缩后的网络计划如图2.3.55所示。
图2.3.55 第一次压缩后的网络计划
这时网络有两条关键线路:①→③→④→⑥和①→③→④→⑤→⑥。
增加直接费用57×12= 684元。
(3)第二次压缩
选取压缩①→③工作、压缩③→④工作、同时压缩④→⑥和⑤→⑥三种情况，压缩这三种情况的直接费增加分别为100元/天、143元/天、119元/天。①→③工作直接费100元/天相比最小，所以应压缩①→③工作6天，压缩后的网络计划如图2.3.56所示。增加直接费用100×6=600元。
图2.3.56 第二次压缩后的网络计划
(4)第三次压缩
由于有同时压缩①→③工作和①→②工作、同时压缩①→③工作和②→③工作、压缩③→④工作、同时压缩④→⑥工作和⑤→⑥工作四种情况，这四种情况的直接费费率分别为350元/天、225元/天、143元/天、119元/天，四种情况直接费费率(或组合直接费费率)最小的是同时压缩④→⑥工作和⑤→⑥工作。因此，应选取同时压缩④→⑥工作和⑤→⑥工作2天，压缩后的网络计划如图2.3.57所示。增加直接费用119×2=238元。
若再压缩，关键工作直接费费率(组合直接费费率)均大于间接费费率120元/天，因此当工期T3为76时，费用最优。
最优费用为:52 500+684+600+238－120×20=51 622元。
图2.3.57 第三次压缩后的网络计划
2.3.5.3 资源优化
1.资源优化概述
(1)资源优化的概念
资源是指为完成任务所需的人力、材料、机械设备及资金等的通称。虽然说完成一项任务所需的资源量基本上是不变的，不可能通过资源的优化将其减少，但在许多情况下，由于受多种因素的制约，在一定时间内所能提供的各种资源量总是有一定限度的。即使资源能满足供应，有可能出现资源在一定时间内供应过分集中而造成现场拥挤，使管理工作变得复杂，而且还会增加二次搬用费和暂设工程量，造成工程的直接费用和间接费用的增加等不必要的经济损失。因此，就需要根据工期要求和资源的供需情况对网络计划进行调整，通过改变某些工作的开始和完成时间，使资源按时间的分布符合优化目标。
(2)资源优化的前提条件
资源优化的前提条件如下。
①在优化过程中，不改变网络计划中各项工作之间的逻辑关系。
②在优化过程中，不改变网络计划中各项工作的持续时间。
③网络计划中各项工作的资源强度(单位时间所需资源数量)为常数，而且是合理的。
④除规定可中断的工作外，一般不允许中断工作，应保持其连续性。为简化问题，这里假定网络计划中的所有工作需要同一种资源。
(3)资源优化的分类
在通常情况下，网络计划的资源优化分为两种，即“资源有限，工期最短”的优化和“工期固定，资源均衡”的优化。
提示:“资源有限，工期最短”的优化是通过调整计划安排，在满足资源限制条件下，使工期延长最小的过程;而“工期固定、资源均衡”的优化是通过调整计划安排，在工期保持不变的条件下，使资源需用量尽可能均衡的过程。
2.“资源有限，工期最短”的优化步骤
“资源有限，工期最短”的优化一般可按以下步骤进行。
①按照各项工作的最早开始时间安排进度计划，并计算网络计划每个时间单位的资源需用量。
②从计划开始日期起，逐个检查每个时段(每个时间单位资源需用量相同的时间段)资源需用量是否超过所能供应的资源限量。如果在整个工期范围内每个时段的资源需用量均能满足资源限量的要求，则可行优化方案就编制完成;否则，必须转入下一步进行计划的调整。
图2.3.58 m、n两项工作的排序
③分析超过资源限量的时段。如果在该时段内有几项工作平行作业，则采取将一项工作安排在与之平行的另一项工作之后进行的方法，以降低该时段的资源需用量。对于两项平行作业的工作m和工作n来说，为了降低相应时段的资源需用量，现将工作n安排在工作m之后进行，如图2.3.58所示。
如果将工作n安排在工作m之后进行，网络计划的工期延长值为
式中:ΔT m，n——将工作n安排在工作m之后进行时网络计划的工期延长值;
EF m——工作m的最早完成时间;
D n——工作n的持续时间;
LF n——工作n的最迟完成时间;
LS n——工作n的最迟开始时间。
这样，在有资源冲突的时段中，对平行作业的工作进行两两排序，即可得出若干个ΔT m，n，选择其中最小的ΔT m，n，将相应的工作n安排在工作m之后进行，既可降低该时段的资源需用量，又使网络计划的工期延长最短。
④对调整后的网络计划安排重新计算每个时间单位的资源需用量。
⑤重复上述②～④步，直至网络计划整个工期范围内每个时间单位的资源需用量均满足资源限量为止。
3.“工期固定，资源均衡”的优化
安排建设工程进度计划时，需要使资源需用量尽可能地均衡，使整个工程每单位时间的资源需用量不出现过多的高峰或低谷，这样不仅有利于工程建设的组织与管理，而且可以降低工程费用。
“工期固定，资源均衡”的优化方法有多种，如方差值最小法、极差值最小法、削高峰法等。这里仅介绍方差值最小的优化方法。
(1)方差值最小法的基本原理
现假设已知某工程网络计划的资源需用量，则其方差为
式中:σ2——资源需用量方差;
T——网络计划的计算工期;
Rt——第t个时间单位的资源需用量;
R m——资源需用量的平均值。
式(2.3.51)可以简化为下式。
由式(2.3.52)可知，由于工期T和资源需用量的平均值R m均为常数，为使方差σ2最小，必须使资源需用量的平方和最小。
对于网络计划中某项工作k而言，其资源强度为r k。在调整计划前，工作k从第i个时间单位开始，到第j个时间单位完成，则此时网络计划资源需用量的平方和为
若将工作k的开始时间右移一个时间单位，即工作k从第i+1个时间单位开始，到第j+ 1个时间单位完成，则此时网络计划资源需用量的平方和为
比较式(2.3.54)和式(2.3.53)可以得到，当工作k的开始时间右移一个时间单位时，网络计划资源需用量平方和的增量
即
Δ=2r k(Rj+1+ r k－Ri) (2.3.55)
如果资源需用量平方和的增量Δ为负值，说明工作k的开始时间右移一个时间单位能使资源需用量的平方和减小，也就使资源需用量的方差减小，从而使资源需用量更均衡。
因此，工作k的开始时间能够右移的判别式为
Δ=2r k(Rj+1+ r k－Ri)≤0 (2.3.56)
由于工作k的资源强度r k不可能为负值，故判别式(2.3.56)可以简化为
Rj+1+ r k－Ri≤0
即
Rj+1+ r k≤Ri (2.3.57)
判别式(2.3.57)表明，当网络计划中工作k完成时间之后的一个时间单位所对应的资源需用量Rj+1与工作k的资源强度r k之和不超过工作k开始时所对应的资源需用量Ri时，将工作k右移一个时间单位能使资源需用量更加均衡。这时，就应将工作k右移一个时间单位。同理，如果下述判别式成立，说明将工作k左移一个时间单位能使资源需用量更加均衡。这时，就应将工作k左移一个时间单位:
Ri－1+ r k≤Ri (2.3.58)
如果工作k不满足判别式(2.3.57)或判别式(2.3.58)，说明工作k右移或左移一个时间单位不能使资源需用量更加均衡，这时可以考虑在其总时差允许的范围内，将工作k右移或左移数个时间单位。向右移时，判别式为
［(Rj+1+ r k)+(Rj+2+ r k)+(Rj+3+ r k)］+…≤［Ri+Ri+1+Ri+2+…］ (2.3.59)
向左移时，判别式为
［(Ri－1+ r k)+(Ri－2+ r k)+(Ri－3+ r k)+…］≤［Rj+Rj－1+Rj－2+…］ (2.3.60)
(2)优化步骤
按方差值最小的优化原理，“工期固定，资源均衡”的优化一般可按以下步骤进行。
①按照各项工作的最早开始时间安排进度计划，并计算网络计划每个时间单位的资源需用量。
②从网络计划的终点节点开始，按工作完成节点编号值从大到小的顺序依次进行调整。当某一节点同时作为多项工作的完成节点时，应先调整开始时间较迟的工作。
在调整工作时，一项工作能够右移或左移的条件是:工作具有机动时间，在不影响工期的前提下能够右移或左移;工作满足式(2.3.57)或式(2.3.58)，或者满足式(2.3.59)或式(2.3.60)。
只有同时满足以上两个条件，才能调整该工作，将其右移或左移至相应位置。当所有工作均按上述顺序自右向左调整了一次之后，为使资源需用量更加均衡，再按上述顺序自右向左进行多次调整，直至所有工作既不能右移也不能左移为止。
阅读理解:对比阅读工期优化、费用优化和资源优化，理解三种优化方法的特点。
已知某项目工作关系如表2.3.17所示，T r= 15周，根据实际情况各工作缩短的优先顺序为B→F→A→G→E→D。试绘制其双代号网络计划并进行优化。
表2.3.17 某项目工作逻辑关系
注:持续时间中，括号外面为工作正常持续时间，括号内为极限持续时间。
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