粒子群优化算法的参数选择及优化

2.4　粒子群优化算法的参数选择及优化

PSO算法与其他演化计算方法的一个显著区别就是所需调整的参数很少，但是这些关键参数的设置对算法的精度和效率存在着显著影响。

为了改善基本粒子群优化算法的收敛性能，Shi和Eberhart在1998年的进化计算的国际学术会议(Congress on Evolutionary Computation)上发表了一篇题目为A Modified Particle Swarm Optimizer的论文，在该文中首次提出了惯性权重的概念，并对基本PSO算法中的粒子速度更新公式进行了修正，以获得更佳的全局优化效果，如公式(2.3)所示。其后的研究者把这个改进的PSO算法称为标准的粒子群优化算法，并普遍采用这种方式作为系统粒子速度更新的基本方式，并在大量的应用问题中充分验证了其合理性。

为了观察惯性权重对算法性能的影响，作者把改进后的算法应用到一些标准的测试函数中，他们通过改变惯性权重的大小，获得大量的实验数据。经过对实验数据进行分析，发现ω值较大，全局寻优能力强，局部寻优能力弱，算法倾向于勘探(Exploration);ω值较小，全局寻优能力弱，局部寻优能力强，算法倾向于开采(Exploitation)。因此，作者不是把惯性权重设为固定值，而是提出了随时间线性递减的动态惯性权值设置方法以提高算法的有效性和可靠性，后来实验发现，动态ω能够获得比固定值更好的寻优结果。

目前，ω的取值方式采用较多的是线性递减权值(Linearly Decreasing Weight，简称LDW)策略，如下所示。

其中，t为当前运行代数;t_s为最大运行代数;ω_s为初始惯性权值;ω_e为算法结束时惯性权值;ω_s 和ω_e的典型取值分别为0.9和0.4。LDW策略的引入使PSO算法性能有了很大提高，针对不同的搜索问题，通过改变ω的取值可以调整全局和局部搜索能力，这使得PSO算法能成功地应用于很多实际问题。

粒子群优化算法搜索过程是非线性而且复杂的过程，一个从全局搜索到局部搜索的线性变化并不能真实地反映搜索全局最优所需的搜索过程，尤其是对于动态优化问题。例如在跟踪问题中，环境随时间动态变化，故需要算法能够根据环境的改变进行动态的非线性搜索。所以，为了拥有更好的搜索性能，惯性权重必须是非线性的，而且能够动态权衡全局搜索和局部搜索。

Yuhui Shi和Eberhart^［84］借鉴模糊计算的思想，提出了自适应设置惯性权值的模糊系统。系统的输入是对PSO算法性能进行评价的变量，而系统的输出则是调整后的惯性权值或者惯性权值增量。在此，两个变量被选为模糊系统的输入，分别为种群当前最优性能指标(Current Best Performance Evaluation，简称CBPE)和当前惯性权重。为了让当前最优性能指标能够应用于各类优化问题，需采用归一化的当前最优性能指标系数来度量，其归一化形式为

假设PSO算法解决的是最小化问题，CBPE_min为最小估计值，CBPE_max为非最优值，表示当解的CBPE大于或等于CBPE_max时，此解为不可行解。

所有的模糊变量(两个输入变量和一个输出变量)都具有低、中和高三个模糊状态，对应的隶属度函数分别为LeftTriangle，Triangle和RigthTriangle。Yuhui Shi和Eberhart同时指出其他类型的隶属度函数也可能有效。LeftTriangle，Triangle和RightTriangle的定义分别如下。

(1)LeftTriangle隶属度函数:

(2)Triangle隶属度函数:

(3)RightTriangle隶属度函数:

公式中x₁和x₂是关键参数，决定了隶属度函数的形状和位置，以上三个隶属度函数的示意图如图2.7所示。

图2.7　隶属度函数

在惯性权值非线性变化思路的引导下，王凌等^［85］提出了一种非线性动态自适应调节惯性权重的方法，使惯性权重随粒子适应值变化而自动变化。自适应惯性权重(Adaptive Inertia Weight Factor，简称AIWF)的计算表达式如下:

根据公式(2.21)，当各粒子的适应值趋于一致或者趋于局部最优时，将使惯性权重增加;而当各粒子的适应值比较分散时，将使惯性权重减少。同时，对于适应值优于平均适应值的粒子，将对应于较小的惯性权重，从而使此类粒子趋向于局部搜索;而对于适应值劣于平均适应值的粒子，将对应于较高的惯性权重，从而使该类粒子能够更快地趋向较好的搜索空间。

粒子群优化算法的参数除了惯性权重之外还有种群规模、迭代次数、粒子速度以及学习因子。El-Gallad，El-Hawary，Sallam和Kalas^［86］针对PSO算法中的种群大小、迭代次数和粒子速度的选择方法进行了详细分析，利用统计实验方法对约束优化问题的求解论证了这三个参数对算法性能的基本影响，并给出了具有一定通用性的三种参数选择原则，同时指出，参数的选择由实际问题而定(学习因子c₁和c₂的取值方法已在前文中详细介绍)。