全距与四分位差

1.全距

全距就是变量的最大值与最小值之差，也叫极差，表明变量的最大变动范围或绝对幅度。全距通常用R表示，公式为：

R＝Xmax－Xmin 　（3－6）

全距一般只根据未分组数据或单项式数列计算。全距是测定变量分布离中趋势最简单的方法，在实际中也有众多的应用，例如，每天天气预报中最高温与最低温之间的温差、股票市场中各种股票每天最高成交价与最低成交价之间的价差、人体血压中收缩压与舒张压之间的压差等。

例3.9 计算例3.1中数据的极差。

参照图3－14，输入“最大值”、“最小值”、“全距”。

图3－14 全距计算过程

在B2单元格中输入“＝MAX（A2：A41）”，按Enter键，得到最大值；在C2单元格中输入“＝Min（A2：A41）”，按Enter键，得到最小值；在D2单元格中输入“＝B2－C2”，按Enter键，得到全距R＝71。

2.四分位差

四分位差是四分位数中第三个四分位数与第一个四分位数之差，也称为内距或四分间距，通常用Qd表示，即

Qd＝QU－QL　（3－7）

四分位差通常与中位数相结合，用以表明变量分布中间50％数值的离散程度。其值越小（越大），表明变量中间数值的分布越集中（越离散），中位数的代表性越好（越差）。

例3.10 计算例3.1中数据的四分位差。

参照图3－15，输入“第三个四分位数”、“第一个四分位数值”、“四分位差”。

图3－15 四分位差计算过程

在B2单元格中输入“＝PERCENTILE（A2：A41，0.75）”，按Enter键，得到第三个四分位数；在C2单元格中输入“＝PERCENTILE（A2：A41，0.25）”，按Enter键，得到第一个四分位数；在D2单元格中输入“＝B2－C2”，按Enter键，得到四分位数差18.75。

3.4.2 标准差

标准差是根据方差来计算的，方差是各变量值与其平均数的离差平方的算术平均数，标准差则是方差的平方根。

方差和标准差利用了全部数据信息，因而能准确反映变量分布的离散程度。方差或标准差越大，表示变量分布离散程度越大；方差或标准差越小，则变量分布离散程度越小。标准差的计算单位与变量值一致，而且计算简便，在实践中得到了广泛的应用。根据掌握资料的不同，标准差也有简单标准差和加权标准差两种。

3.4.2.1 简单标准差

简单标准差适用于未分组资料（或在已分组情况下变量值出现的次数均相同时），其计算公式为：

其中，i＝1，2，3，4，…，n。

例3.11 根据例3.1中的数据计算标准差。

参照图3－16，在B1单元格中输入“标准差”。

图3－16 简单标准差

单击B2单元格，输入“＝STDEV（A2：A41）”，按Enter键，则得到标准差“15.76182909”。注：Excel中，STDEV（）、STDEVA（）、STDEVP（）、STDEVPA（）四个函数可以用于计算标准差，其中STDEV（）函数最常用。

3.4.2.2 加权标准差

加权标准差适用于分组资料且权数不完全相同时的情况，其计算公式为：

其中，i＝1，2，3，4，…，n。

例3.12 根据表3－4中的数据计算标准差。

具体操作步骤如下：

（1）建立数据文件

新建一工作表，参照图3－17中A1：C7、D1：F1、A9：A12所示内容，输入数据，见表3－4。

表3－4 某企业一车间基本工资资料

图3－17 加权算术平均数计算过程

（2）计算各组中值

在组距数列中，各组中总体单位具体的标志（变量）值没有给出，在这种情况下，通常用组中值来计算平均数，即视每组的总体单位取值为组中值。

组中值等于“（上组限＋下组限）÷2”；若缺少上组限，则用“下组限＋相邻组距÷2”计算组中值；若缺少下组限，则用于“上组限－相邻组距÷2”计算组中值。每组中，最大可能取值为上组限，最小可能取值为下组限。

（3）计算各组标志（变量）值之和及总体标志（变量）值之和

用每组组中值乘以工人人数，计算出每组工资额，再用每组工资额相加计算出全部的工资总额。

单击D3单元格，输入“＝B2*C2”，按Enter键，鼠标再单击D2单元格；然后将鼠标指向D2单元格右下角，当鼠标变为“╋”时，按鼠标左键拖拽到D6单元格；单击D7单元格；然后按Alt＋＝组合键，按Enter键，在D7单元格中显示工资额的合计数31800。

（4）计算工资平均数

在B9单元格中输入“＝D7/C7”，按Enter键，得到工资平均数。

（5）计算每一个组中值与平均数的离差平方

在E3单元格中，输入“＝（B2－$B$9）＾2”（注意：必须对工资平均数加绝对引用）；按Enter键，单击E3单元格，将鼠标指向E3单元格右下角，当鼠标变为“╋”时，按鼠标左键拖拽到E6单元格。

（6）计算每一组的离差平方和

在F3单元格中输入“＝E2*C2”，按Enter键，单击F2单元格，将鼠标指向F2单元格右下角，当鼠标变为“╋”时，按鼠标左键拖拽到F6单元格。

（7）计算总体的离差平方和

单击F7单元格，然后同时按Alt＋＝组合键，按Enter键，在F8单元格中显示离差平方和“245000”。

（8）计算方差

在B10单元格中输入“＝F7/C7”，按Enter键，得到基本工资方差。

（9）计算标准差

在B11单元格中输入“＝SQRT（B10）”，按Enter键，得到基本工资标准差。

3.4.2.3 离散系数

全距、四分位差、平均差和标准差等都是反映变量分布离散程度的绝对指标，其数值大小取决于变量值本身水平的高低，并且都有明确的计量单位。因此，不同取值水平和不同计量单位的绝对离散指标是不能直接比较的。为了使不同变量分布之间离散程度具有可比性，必须消除不同取值水平和不同计量单位的影响，应该计算相对离散指标。

离散系数也称为标准差系数，是变量的标准差与平均数之比，通常离散系数越大，说明变量分布的离散程度越强，平均数的代表性越差；离散系数越小，说明变量分布的离散程度越弱，平均数的代表性越好。

例3.13 根据例3.12中的数据计算离散系数。

在A12单元格中输入离散系数，在B12单元格中输入“＝B11/B9”，按Enter键；单击B13单元格，单击【开始】→【数字】→【％】，则显示结果“7％”，如图3－16所示。