第节，多元函数微分学的几何应用

时间：2022-09-17 百科知识版权反馈

【摘要】：空间曲线的切线设空间曲线的参数方程为, 又是上的一点，则在点的切线方程为. 曲线的法平面曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.向量就是曲线在点处的一个切向量. 法平面：通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面其法平面方程为。

(1/2) 空间曲线的切线与法平面

（1）空间曲线的切线设空间曲线的参数方程为, 又是上的一点，则在点的切线方程为 . (2)曲线的法平面（i）曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.向量就是曲线在点处的一个切向量. （ii）法平面：通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面其法平面方程为。 [例题]：求曲线在点（1,1,1）处的切线及法平面方程。解：因为，而点（1,1,1）所对应的参数，所以曲线的切向量为 ,于是，切线方程为法平面方程为即

(2/2) 空间曲面的切平面与法线

（1）用隐式方程表示的曲面（i）曲面的切平面设曲面的方程为,是曲面上的一点,则在点的切平面方程为 (ii)曲面的法线 1）曲面的法线:通过点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为. 2）曲面的法向量:垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.向量 ,就是曲面在点处的一个法向量. （2）用显式方程表示的曲面（i）曲面的切平面若空间曲面的方程为，是上的一点，，则曲面在切平面方程为；（ii）曲面的法线 1）曲面在该点的法线方程为其中在有连续的偏导数，这里在处的法向量为 2）法线的单位的法向量为 ,这里的分别是法向量与三个坐标轴正向的夹角，的表达式正负号的选取取决于是锐角还是钝角，即法向量是朝上的还是朝下的，朝上取正号，朝下取负号。