【摘要】：设函数在点的某邻域内有定义，如果，对有，则称是的极小（大）值点，称为的极小（大）值，等号仅在时成立。极值第一充分判定定理：设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导： 若时，而时，则在处取极大值。 若时，的符号保持不变，则在处没有极值。 若时，在处可能取得极小值，也可能取得极大值，也可能没有极值。 确定函数的所有极值点和极值。
(1/4) 函数极值定义
设函数
在点
的某邻域内有定义，如果
，对
有
，则称
是
的极小（大）值点，
称为
的极小（大）值，等号仅在
时成立。极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。
(2/4) 函数极值的充分必要条件
（1）必要条件：设
在
处可导并且取得极值，那么
。 （2）极值第一充分判定定理：设函数
在
处连续，且在
的某去心邻域内可导： (i) 若
时
，而
时
，则
在
处取极大值。 (ii) 若
时
，而
时
，则
在
处取极小值。 (iii) 若
时，
的符号保持不变，则
在
处没有极值。 （3）极值第二充分判定定理：设函数
在
处二阶可导，且
，则 (i) 若
时，
在
处取极大值。 (ii) 若
时，
在
处取极小值。 (iii) 若
时，
在
处可能取得极小值，也可能取得极大值，也可能没有极值。此时可用函数
在
处举例便可说明。
(3/4) 函数极值的一般求法
(1) 求出导数
; (2) 求出函数的全部驻点和不可导点; (3) 按照极值第一充分条件或者第二充分条件或极值定义判断所有的驻点和不可导点是否为极值点，是极大值还是极小值。 (4) 确定函数的所有极值点和极值。
(4/4) 极值与最值
求在
上连续函数
的最大（小）值分为两部走： （1）求
及
不存在点，以及区间端点处的值
. （2）计算上述各点处的函数值，经比较，最小即为
，最大即为
。
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