圆轴的扭转

式中　FN——轴力；

L——杆长；

E——弹性模量；

A——杆件的横截面积。该式的应用条件为：在杆长L范围内，FN，E，A分别为常量。该式是胡克定律的另一表达式。

活动二　认识内力与应力

1．内力的概念

杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间产生的阻止变形的力，称为内力。内力是由外力引起的构件内部一部分对另一部分的作用力。这种内力将随外力增加而增大。当内力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。内力是与构件的强度密切相关的，拉压杆上的内力又称为轴力。

2．截面法

将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其合力的方法，称为截面法。它是分析杆件内力的唯一方法。

图3．3　截面法

如图3．3所示为受拉杆件，假想沿截面m—m将杆件切开，分为Ⅰ和Ⅱ两段。取Ⅰ段为研究对象。在Ⅰ段的截面m—m上到处都作用着内力，其合力为FN。FN是Ⅱ段对Ⅰ段的作用力，并与外力F相平衡。由于外力F的作用线沿杆件轴线，显然，截面m—m上内力的合力也必然沿杆件轴线。据此，可列出其平衡方程为

FN－F＝0

由平衡方程得

FN＝F

综上所述，求杆件内力的方法——截面法可概述如下：

①截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开。

②取：选取其中一部分为研究对象。

③代：将弃去部分对研究对象的作用，以截面上的未知内力来代替。

④平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定未知内力的大小和方向。

例3．1　如图3．4（a）所示，设一杆沿轴线同时受力F1，F2，F3的作用，其作用点分别为A，C，B。求杆各横截面上的轴力。

图3．4　例3．1图

解　由于杆上有3个外力，因此在AC段和CB段的横截面上将有不同的轴力。

如图3．4（b）所示，在AC段内的任意处以横截面1—1将杆截为两段，取左段为研究对象，将右段对左段的作用以内力FN1代替。由平衡条件可知，FN1必与杆的轴线重合，方向与F1相反，为拉力。并由平衡方程得

Fx＝0，FN1－F1＝0

FN1＝F1＝2kN

这就是AC段内任一横截面上的内力。

同样用横截面2—2将杆截开，仍取左段为研究对象（见图3．4（c）），由平衡方程得

FN2－F1＋F2＝0

得

FN2＝F1－F2＝（2－3）kN＝－1kN

结果中的负号说明，该截面上内力的方向应与原设的方向相反，即FN2为压力，其值为1kN，此即CB段内任一横截面上的内力。

3．应力

图3．5　应力示意图

单位面积上的内力称为应力，如图3．5所示。用内力除以杆件的截面积，即得到单位面积上的应力。轴向拉伸或压缩时应力垂直于截面，称为正应力。

轴向拉伸和压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。

正应力的计算公式为

式中　σ——横截面上的应力；

FN——横截面上的轴力；

A——横截面面积。

三、巩固与提高

①直杆轴向拉伸与压缩时的受力特点是什么？

②直杆轴向拉伸与压缩时的变形特点是什么？

③杆件内力用什么方法计算？

四、学习评价

分组进行自评、组评、师评，在学习活动评价表相应等级的方格内画“√”。

学习活动评价表

任务二　剪切与挤压

一、学习目标

1．知识目标

①了解剪切与挤压的概念。

②掌握剪切与挤压的强度计算。

2．能力目标

3．态度目标

培养勤于思考的习惯。

二、学习活动

活动一　认识剪切

1．剪切的概念

（1）受力特点

作用在构件两侧面上的外力（或外力的合力）大小相等、方向相反且作用线相距很近。

（2）变形特点

构件沿两力作用线之间的某一截面产生相对错动或错动趋势，由矩形变为平行四边形。

2．剪切实例

如图3．6所示为剪力实例。

3．剪切和切应力

金属板料在外力作用下使零件发生剪切变形（见图3．7），在零件内产生一个抵抗变形的力，这个力称为剪力。根据截面法可求出该截面的内力——剪力。剪力大小与外力相等且与该受力截面相切。剪力的单位是N（牛）或kN（千牛）。

剪切面上单位面积上的剪力称为切应力。其计算公式为

图3．6　剪切实例

图3．7　剪切变形

式中　τ——切应力；

Fs——剪切力；

A——横截面积。

活动二　认识挤压

1．挤压的概念

在杆件发生剪切变形的同时，往往还在受力处相互接触的作用面间发生挤压现象。

当相互挤压力很大时，作用面间将可能发生塑性变形或压溃。彼此相互接触压紧的表面，称为挤压面；彼此相互挤压的作用力，称为挤压力。

2．挤压应力

工程中常假定挤压力在挤压面上是均匀分布的。挤压面上单位面积所受到的挤压力，称为挤压应力。其表示式为

σJ＝FJ／AJ

在圆柱表面上挤压应力分布并非均匀。如图3．8所示为受剪切螺栓。

因此，在工程实际中采用近似计算，即把作用于圆柱表面上的应力，认为在其直径的矩形投影面上是按如图3．9所示均布的，即用直径截面代替挤压面，则

图3．8　受剪切螺栓

图3．9　圆柱表面上应力的近似计算

AJ＝L·d

式中　L——受力高度。

活动三　了解剪切与挤压在生产实践中的应用

工程中，常用作联接的螺栓、键、销、铆钉等标准件，它们受到的剪力和挤压力较复杂，变形也复杂。因此，在计算设计这类杆件时常采用实用计算法，即假定剪力、挤压力是均匀分布的，利用抗剪强度、挤压强度计算公式进行强度校核、设计截面尺寸以及确定许用载荷。为了使机器中关键零件产生超载时不致损坏，把机器中某个次要零件设计成机器中最薄弱的环节，机器超载时，这个零件先行破坏，从而保护了机器中其他重要的零件。

三、巩固与提高

①受剪切零件的受力特点和变形特点分别是什么？

②挤压应力的计算公式是什么？

③剪切与挤压在生产实践中有哪些应用？

四、学习评价

分组进行自评、组评、师评，在学习活动评价表相应等级的方格内画“√”。

学习活动评价表

任务三　圆轴的扭转

一、学习目标

1．知识目标

①了解扭转概念；熟悉外力偶矩、扭矩的计算。

②理解扭转时的应力分析，掌握扭转强度的计算。

2．能力目标

通过扭转时的应力分析，了解应力分析方法，培养分析问题的能力。

3．态度目标

培养周密的思维能力。

二、学习活动

活动一　了解扭转的概念

工程中，很多传动机构中的回转件都会产生扭转变形（见图3．10）。例如，汽车方向盘转动时，转向轴的受力情况为：司机在方向盘上作用着一个力偶，同时在转向轴下端作用一个阻碍方向盘转动的反力偶。转向轴由于受到这两个力偶的作用，将引起扭转变形。

图3．10　圆轴的扭转变形

图3．11　轴和相对扭转角

杆件的扭转变形特点如下：

①在杆件两端受到大小相等，方向相反的一对力偶的作用。

②杆件上各个横截面均绕杆件的轴线发生相对转动。

在工程中，以扭转变形为主要变形的杆件称为轴，上下两截面所扭转过的角度称为相对扭转角，如图3．11所示。

活动二　圆轴扭转的外力矩计算

对于传动轴等转动杆件，通常只给出其转速和所传递的功率，在分析内力时，首先需要根据转速和功率计算外力偶矩。由理论力学可知，力偶在相应角位移上做功，而力偶在单位时间内所做功的功率P等于其力偶矩M与相应角速度ω的乘积，即

P＝Mω

在工程实际中，功率P的常用单位为kW（千瓦），转速n的常用单位为r／min（转／分），在这种情况下，上式可变为

由此得力偶矩

活动三　扭矩计算

1．内力

求圆轴扭转时的应力——截面法。如图3．12所示为受一对外力偶作用的圆轴。假想地沿轴的某一截面m—m切开，并取Ⅰ部分为研究对象。

图3．12　受一对外力偶作用的圆轴

为使Ⅰ部分仍处于平衡状态，必在截面m—m处作用一个内力偶矩MT。建立平衡方程钞M＝0，则

MT－M＝0

MT＝M

上式表明，圆轴扭转时横截面上的内力是一个力偶矩，称为扭矩。

2．符号规定

按右手螺旋法则，四指方向与截面力偶方向一致，则拇指指向为扭矩的方向（见图3．13）。

图3．13　圆轴扭转时扭矩正负的规定

当该矢量MT方向与截面外法线方向一致时，MT为正；矢量MT方向与截面外法线方向相反时，MT为负。

活动四　圆轴扭转时的应力分析

1．扭转现象与假设

如图3．14所示，在圆轴的表面上画出很多等距的圆周线和轴线平行的纵向线，形成大小相等的矩形方格。当圆轴扭转变形时，可以看到以下现象：

①各圆周线相对于轴线旋转了一个角度，但其形状大小及圆周线间距没有变。

②各纵向线均倾斜了一个小角度，矩形变成了平行四边形。

由以上的观察可知，圆轴扭转时的基本假设如下：

扭转时，圆轴的横截面始终为平面，形状、大小都不改变，只有相对轴线的微小扭转变形，因此在横截面上无正应力，而只有垂直于半径的切应力。

2．切应力分布规律

圆轴横截面上任一点的切应力与该点所在圆周的半径成正比，方向与过该点的半径垂直，切应力最大处发生在半径最大处。应力分布规律如图3．15所示。

图3．14　圆轴扭转时的应力分析

图3．15　圆轴扭转时的应力分布规律

3．切应力计算公式

根据静力学关系导出切应力计算公式为

式中　MT——横截面上的扭矩；

ρ——横截面上任意一点的半径；Iρ——横截面上截面二次极矩。当ρ＝R时，切应力最大，即

令Iρ／R＝Wt，于是上式可改写为

式中　Wt——抗扭截面系数。

活动五　圆轴扭转应力

为了保证受扭圆轴能正常工作而不致破坏，应使圆轴内的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力［τ］，即

塑性材料［τ］＝（0．5～0．6）［σ］

脆性材料［τ］＝（0．8～1．0）［σ］

图3．16　汽车传动轴

轴扭转时多受动载荷作用，因此，［τ］取值应比静载下的许用应力低些。例3．2　汽车传动轴AB（见图3．16）由无缝钢管制成。该轴外径D＝90mm，壁厚t＝2．5mm，工作时的最大扭矩MTmax＝1．5kN·m。材料的许用切应力［τ］＝60MPa，试校核轴AB的强度。如果轴AB设计成实心轴，直径应为多少？

解　1）计算AB轴的抗扭截面系数

Wt＝0．2D3（1－α4）＝0．2×903（1－0．9444）mm3＝30035mm3

2）计算轴的最大切应力并校核强度

因为轴AB是等截面轴，且在全轴所有横截面上的扭矩为常量，所以轴AB上任一截面的周边点都是危险点，即周边任一点的切应力都是最大切应力。根据强度条件式

故轴AB满足强度要求。

3）设计实心圆轴直径D1

因两轴等强度，故实心轴的最大切应力也应等于50MPa，即

实心轴的直径D1应取直径标准55mm。

活动六　了解工程中提高抗扭能力采取的措施

由扭转强度条件

可知，要提高轴的强度，只有降低MTmax值或提高Wt值两种途径。

1．提高抗扭截面系数Wt

对于圆轴来说，合理截面一个是实心轴，另一个是空心轴。由于Wt与直径D成三次方正比，因此增大轴径效果最为显著。而采用空心轴，在相同截面积的前提下，可大大提高轴的抗扭截面系数，有效提高轴的扭转强度。

2畅降低最大扭矩

如图3．17（a）所示，已知该轴传递扭矩MA＝5N·m，MB＝2N·m，MC＝3N·m，MD＝10N·m，转向如图示。如果将MD的位置移到MA与MB之间，如图3．17（b）所示，则该轴所受到的MTmax将比图3．17（a）减小1／2。因此，合理安排轴上零件的位置，将可降低轴的最大扭矩。

三、巩固与提高

①杆件扭转变形的特点是什么？

②如何计算外力偶矩和扭矩？

③工程中如何提高抗扭能力？

图3．17　降低轴的最大扭矩实例

四、学习评价

分组进行自评、组评、师评，在学习活动评价表相应等级的方格内画“√”。

学习活动评价表