单因素实验设计

单因素实验指只有一个影响因素的实验，或影响因素虽多，但在安排实验时只考虑一个对指标影响最大的因素，其他因素尽量保持不变的实验。在单因素实验中，主要任务是如何选择实验方案来安排实验，找出最优实验点，使实验的结果（指标）最好。

单因素实验设计方法有0.618法（黄金分割法）、对分法、分数法、均分法、爬山法和抛物线法等。前3种方法可以用较少的实验次数迅速找到最佳点，适用于一次只能出一个实验结果的问题。对分法效果最好，每做一个实验就可以去掉实验范围的一半。分数法应用较广，因为它还可以应用于实验点只能取整数或某特定数，以及限制实验次数和精确度的情况。均分法适用于一次可以同时得出许多个实验结果的问题。爬山法适用于研究对象不适宜或者不易大幅度调整的问题。

2.2.1　均分法

当完成实验需要较长时间，或者测试一次要花很大代价，而每次同时测试几个样品和测试一个样品所花的时间、人力或费用相近时，采用均分法较好，因为每批实验都可被均匀地安排在实验范围内。例如每批要做4个实验，我们可以先将实验范围（a，b）均分为5份，在其4个分点x1，x2，x3，x4处做4个实验，将4个实验样品同时进行测试分析，如果x3符合实验要求，则去掉小于x2和大于x4的部分，留下（x2，x4）。然后将留下部分再均分成5份，在这个范围内的4个分点上做实验，这样一直做下去，把多次实验结果进行比较，选出所需要的最优结果，相对应的实验点即为实验中最优点。

均分法是一种比较传统的实验方法。其优点是只需把实验放在等分点上，实验可以同时安排，也可以一个接一个地安排；缺点是实验次数较多，代价较大。

2.2.2　对分法

采用对分法时，首先要根据经验确定实验范围。设实验范围为（a，b），第一次实验点安排在（a，b）的中点x1［xl=（a+b）/2］，若实验结果表明xl取大了，则丢去大于xl的一半，第二次实验点安排在（a，xl）的中点x2［x2=（a+xl）/2］。反之，如果第一次实验结果表明x1取小了，则丢去小于xl的一半，第二次实验点就取在（xl，b）的中点。这个方法的优点是，每做一次实验便可以去掉实验范围的一半，且取点方便。对分法适用于预先已经了解所考察因素对指标的影响规律，能够从一个实验的结果直接分析出该因素的值是取大或取小的情况。例如，确定消毒时加入氯的量的实验，可以采用对分法。

2.2.3　0.618法

单因素实验设计法中，对分法的优点是每次实验都可以将实验范围缩小一半，缺点是要求每次实验都能确定下次实验的方向。有些实验不能满足这个要求，因此，对分法的应用会受到限制。

科学实验中，有相当普遍的一类实验，目标函数只有一个峰值，在峰值的两侧实验效果都差，将这样的目标函数称为单峰函数。

0.618法适用于目标函数为单峰函数的情形。其做法如下：设实验范围为［a，b］，第一次实验的x1选在实验范围的0.618位置上，即：x1=a+0.618（b-a）。

第二次实验点选在点x1的对称点x2处，即实验范围的0.382位置上，即：x2=a+0.382（b-a）。

设f（x1）和f（x2）表示x1与x2两点的实验结果，且f（x）值越大，效果越好，则存在以下3种情况：第一，如果f（x1）比f（x2）好，那么根据“留好去坏”原则，去掉实验范围［a，x2）部分，在剩余范围［x2，b］内继续做实验；第二，如果f（x1）比f（x2）差，那么根据“留好去坏”原则，去掉实验范围（x1，b］部分，在剩余范围［a，x1］内继续做实验；第三，如果f（x1）与f（x2）实验效果一样，则去掉两端，在剩余范围［x2，x1］内继续做实验。

根据单峰函数性质，上述3种做法都可使好点留下，去掉部分坏点，不会发生最优点丢掉的情况。

对于上述3种情况，继续做实验，取x3时，则有：

在第一种情况下，即剩余实验范围为［x2，b］时，用下述公式计算新的实验点x3；

在第二种情况下，即剩余实验范围为［a，x1］时，用下述公式计算新的实验点x3；

在第三种情况下，即剩余实验范围为［x2，x1］时，用下述两公式计算两个新的实验点x3和x4，并在实验点x3和x4安排两次新的实验。

无论出现上述3种情况中的哪一种，在新的实验范围内都有两个实验点的实验结果，可以进行比较。此时，仍然按照“留好去坏”原则，去掉实验范围的一段或两段，这样反复做下去，直至找到满意的实验点，得到比较好的实验结果为止，或实验范围已很小，再做下去，实验结果差别不大，即可停止实验。

例如：为降低水中的浑浊度，需要加入一种药剂，已知其最佳加入量为1 000～2 000 g之间的某一点，现在要通过做实验找到它，按照0.618法选点，先在实验范围的0.618处做第1项实验，这一点的加入量可由公式计算得：

x1=1000+0.618×(2000-1000)=1618（g）

再在实验范围的0.382处做第2次实验，这一点的加入量可由公式计算得：

x2=1000+0.382×(2000-1000)=1382（g）

比较两次实验结果，如果x1点较x2点好，则去掉1 382 g以下的部分，然后在留下部分再用上述公式找出第3个实验点x3，在点x3做第3次实验，可得出这一点的加入量为1 764 g。

如果仍然是x1点较好，则去掉1 764 g以上的一段，留下部分按同样方法以公式计算得出第4个实验点x4，在点x4做第4次实验，x4的加入量为1 528 g。

反之，如果x4比x1点好，则去掉1 618～1 764 g这一段，留下部分按同样方法继续做下去，如此重复，最终即能找到最佳点。

总之，0.618法简单易行，对每个实验范围都可计算出两个实验点进行比较，好点留下，从坏点处把实验范围切开，丢掉短而不包括好点的一段，依此来缩小实验范围。在新的实验范围内，再用上述两公式算出两个实验点，其中一个就是刚才留下的好点，另一个是新的实验点。应用此法每次可以去掉实验范围的0.382，可以用较少的实验次数迅速找到最优点。

2.2.4　分数法

分数法又叫菲波那契数列法，它是利用菲波那契数列进行单因素优化实验设计的一种方法。当实验点只能取整数，或者限制实验次数的情况下，采用分数法较好。例如，如果只能做一次实验，就在1/2处做，其精确度为1/2，即这一点与实际最佳点的最大可能距离为1/2。如果只能做两次实验，那么第一次实验在2/3处做，第二次在1/3处做，其精确度为1/3。如果能做三次实验，则第一次在3/5处做实验，第二次在2/5处做，第三次在1/5或4/5处做，其精确度为1/5……以此类推，做n次实验，其实验点位置就在实验范围内的Fn/Fn+1处，其精度为1/Fn+1，如表2-1所示。

表2-1　分数法实验点位置与精确度

表中的Fn及Fn+1叫作“菲波那契数”，它们可由下列递推公式确定：

由此得：

F2=F1+F0=2，F3=F2+F1=3，F4=F3+F2=5，…，Fn+1=Fn+Fn-1

因此，表2-1第三行中，从分数2/3开始，以后的每一个分数，其分子都是前一个分数的分母，而其分母都是等于前一个分数的分子与分母之和，照此方法不难写出所需要的第一次实验点位置。

分数法各实验点的位置，可用下列公式求得：

式中　中数——已试的实验点数值。

上述两式推导如下：首先由于第一个实验点x1取在实验范围内的Fn/Fn+1处，所以x1与实验范围左端点（小数）的距离等于实验范围总长度的Fn/Fn+1倍，即：

第一个实验点-小数(左端点值)=[大数(右端点值)-小数(左端点值)]×Fn/Fn+1移项后，即得式（2-6）。

又由于新实验点（x2，x3，…）安排在余下范围内与已做过实验的实验点相对称的点上，因此，不仅新实验点到余下范围的中点的距离等于已做过实验的实验点到中点的距离，而且新实验点到左端点（小数）的距离也等于已做过实验的实验点到右端点（大数）的距离（图2-1），即：

新实验点-左端点=右端点-已做过实验的实验点

移项后即得式（2-7）。

图2-1　分数法试验点位置示意图

下面以一具体例子说明分数法的应用。

某污水厂准备投加三氯化铁改善污泥的脱水性能，根据初步调查，得知投药量在160 mg/L以下，要求通过4次实验确定出最佳投药量。具体计算方法如下：

（1） 根据式（2-6）可得到第一个实验点位置，即：

(160-0)×5/8+0=100(mg/L)

（2） 根据式（2-7）得到第二个实验点位置，即：

160-100+0=60(mg/L)

（3） 假定第一点比第二点好，所以在60～160之间找第三点，弃去0～60这段，即：

160-100+60=120(mg/L)

（4） 第三点与第一点结果一样，此时可用对分法进行第四次实验，即在（100+120）/2=110 mg/L处进行实验，得到的效果最好。