衰变方程式和半衰期

方程(3-1)是一个微分方程。通过求解该方程(见附录1)，可以得到在任意时间t下的样品中母原子数目N的表达式:

其中N0是在时间t=0时的原子数目，e是自然对数的底2．7183。方程两边同乘λ，表达式可以重写为:

其中A是t时间后的活度，A0是初始活度。

在时间t内衰变的原子数量N*是N0-N(见图3-4)，或者:

在时间t内，任何特定的原子不衰变的概率为: N/N0，或者:

而在时间t内，一个特定的原子会发生衰变的概率为:

当λt值较小时，衰变的概率近似为: P(衰变)≈λt; 或者按1个单位时间来表达，可以表示为: P(单位时间衰变)≈λ。这就是说，如果λt非常小，衰变常数近似为单位时间衰变概率。然而，在大多数情况下，这个近似值误差太大，衰变概率必须按1-e-λt计算。衰变常数应该被当作衰变的百分率，而不是衰变的概率。

放射性核素的物理半衰期T1/2就是在核素样品中一半原子发生衰变所需的时间。在方程(3-2)中，若假设t=0时，N=N0，则当t=T1/2时，N=N0/2。对方程(3-2)置换得:

其中0．693是ln2(2的自然对数)的值。

平均寿命是放射性样品原子的平均期望寿命。平均寿命τ和衰变常数λ之间的关系为:

τ=1．44T1/2

在页边图3-9中，用时间函数描述出放射性样品的初始活度百分比，单位是物理半衰期。通过以半对数的方式(活度用对数坐标轴，时间用线性坐标轴)重新描述这些数据点，可以得到如页边图3-10所示的一条直线。

图3-4 母核衰变成稳定子核的放射性衰变数学表达

例3-2 113m In的物理半衰期是1.7小时。

a.113mIn样品的质量为2μg。求: 在样品中有多少个113mIn原子?

b.经过4小时，113mIn原子还剩下多少个?

由于λ=0．693/T1/2

N=N0e-(0.693/T1/2)t=(1.07×1016个原子)e-(0.693/1.7hr)4.0hr=(1.07×1016个原子)(0.196)=2.10×1015个原子

c.在时间t=4.0小时时，样品的活度为多少?

用活度的单位可表示为: A=2.4×1011Bq。

因为113mIn的物理半衰期(很大的衰变常数)较短，故质量很小的核素可以拥有很高的活度。

d.比活度定义为单位质量的放射性样品的活度。求: 经过4个小时后，113mIn样品的比活度为多少?

e.如果在星期四下午4点要获取足够的113mIn在星期五下午1点提供300k Bq的活度，那么需要获得多少113mIn?