【摘要】：光滑模 （连续模）是刻画函数光滑性的基本工具，在研究函数的多项式逼近的理论中起着重要作用．根据实际情况，光滑模 （连续模）也有多种定义形式．本书中我们主要采用经典逼近论著作［1］中的记号，经典的光滑模（连续模）定义如下：定义1．2．1 令X为定义在域DCn上具有半模‖·‖X的函数空间．对任f∈X，δ＞0，r∈N，X中的f的r阶光滑模定义为易知光滑模ωr（t，f，X）为关于t的连续单调增加函数，且有
光滑模 （连续模）是刻画函数光滑性的基本工具，在研究函数的多项式逼近的理论中起着重要作用．根据实际情况，光滑模 （连续模）也有多种定义形式．本书中我们主要采用经典逼近论著作［1］中的记号，经典的光滑模（连续模）定义如下：
定义1．2．1 令X为定义在域D⊂Cn上具有半模‖·‖X的函数空间．对任f∈X，δ＞0，r∈N，X中的f的r阶光滑模定义为
其中
特别地，r＝1阶光滑模也称作f的连续模，记为
ω（δ，f，X）：＝ω1（δ，f，X）．
易知光滑模ωr（t，f，X）为关于t的连续单调增加函数，且有ωr（t，f， X）→0，t→0＋，进一步一般均拥有如下的基本性质［1，2，3，7，8］：
（b）ωr（t，f＋g，X）≤C（ωr（t，f，X）＋ωr（t，g，X））．
（c）若Rrf ∈X，则ωr（t，f，X）≤C‖f‖X，ωr（t，f，X）≤Ct r‖Rrf‖X．
（d）ωr（λt，f，X）≤C（1＋λ）rωr（t，f，X），λ≥0．
注：以后各章也会在部分函数空间对上述性质做相关证明．
我们称函数ω：［0，a］→R为连续模，即满足：ω是单增的连续函数且ω（0）＝0，当t＞0时，ω（t）＞0，及
ω（t＋s）≤ω（t）＋ω（s）．
定义1．2．2 函数f的多项式最佳逼近定义为
其中Pk表示次数至多为k的多项式的全体．
对于更多实函数和单复变函数逼近论更多知识，读者可参考经典教材［1，2，3］及最新关于球面调和逼近的书籍［8］．
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