用牛顿力学的能量守恒方程重新推导拉普拉斯黑洞

给定一个质量为M，半径为R的星球，并假设星球的质量是均匀分布的，再给定一个静止质量为m0的质点，m0≤M，下面研究质点m0在星球引力作用下的运动规律，由于讨论的引力场是球对称的情况，因此可进一步假设质点m0只在星球的径向作直线运动。首先将球坐标系固定在星球M上，并令坐标原点与星球球心相重合。在牛顿力学中，质点质量是一个常量，根据牛顿第二定律和万有引力定律，质点运动方程为

利用式（10－1）很容易推导出质点在星球的引力场中运动时的能量守恒方程：

式中：φ是牛顿力学的势函数

式（10－2）和式（10－3），在《黑洞探疑》一书中给出了推导，在这一推导中，我们规定无穷远处的势函数等于零［1］。

如果不做这一规定，而是规定在星球表面的势函数为零，相应的能量守恒方程应该为

这里

把式（10－5）代入式（10－4），最后得到的就是一般形式的能量守恒方程：

式（10－6）中第一项代表动能，第二项代表势能，两者之和等于常数表明质点在运动过程中能量守恒。下面我们利用这个方程推导拉普拉斯黑洞。与式（10－7）相类似的公式：

首先，假设在无穷远处有一个静止的质点，把质点速度等于零和r＝∞，代入式（10－6）便可得出。现在，质点在星球引力作用下开始下落，在下落过程，质点的势能在减小，但动能在增加，因此，两者之和仍然等于恒量C。最后，质点下落到星球表面，此时势能等于零，即势能全部转化成为动能。如果我们用ul表示质点下落到星球表面时的速度，那么，质点的整个下落过程，就可以用下面这个公式来表述：

从这个公式我们不难看出，质点在无穷远处时，只有势能没有动能；质点的下落过程，实际上就是势能不断地向动能转化的过程，随着势能的减少，动能在不断增加，但势能和动能之和保持不变；当质点下落到星球表面时，势能全部转化成为动能。由式（10－7）还可以求出质点下落到星球表面时的落地速度为

下面我们再讨论另外一个问题，即我们在星球表面，以星球的逃逸速度ue把一个质点发射出去。显然，这个问题与前面那个问题恰好相反，在星球表面时，质点的势能等于零，而动能为，随着质点的上升，动能开始转化为势能，于是动能减少势能增加，但两者之和保持不变。这里需要注意，所谓逃逸速度是物体能够摆脱星球引力场所需要的最小速度，因此，以逃逸速度发射的物体，到达无穷远处时的速度应该等于零，如果不等于零，说明物体还能以更小的速度逃逸出去，这将与逃逸速度的定义相矛盾。所以，当质点上升到无穷远处时，速度将等于零，即全部动能都转化为势能，把质点上升的过程用数学公式表述出来，我们最终得到一个

由式（10－9）便可得

令逃逸速度等于光速，由式（10－10）求出半径，这个半径就是拉普拉斯半径：

式中：c代表光速；rL称为拉普拉斯半径；利用式（10－10）和式（10－11）很容易得到，当一个星球的半径小于拉普拉斯半径时，即R≤rL时，我们就有ue≥c，这个结果表明，如果光也同一般物体一样受万有引力作用，那么在R≤rL的条件下，光就不能克服引力场而逃逸。

换句话说，根据牛顿万有引力定律和光粒子理论，我们可以得出宇宙中存在这样一种星球，它的半径满足R≤rL的条件，这种星球的引力是如此之强，以至一个以光速运动的物体都无法从星球表面逃逸出去，这种星球拉普拉斯称其为看不见的星球，也就是今天所说的拉普拉斯黑洞。