图3.10
从图3.11可以看出，如果曲线y＝f（x）是凹（凸）的，则其上各点处的切线斜率随x的增加而增加（减少），所以f′（x）是x的单调增加（单调减少）函数．如果f（x）二阶可导，那么用二阶导数的符号就能确定一阶导数的单调性，从而有以下定理：
图3.11
定理1 设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内具有二阶导数．
（1）如果在（a，b）内f″（x）＞0，则曲线y＝f（x）在［a，b］上是凹的；
（2）如果在（a，b）内f″（x）＜0，则曲线y＝f（x）在［a，b］上是凸的．
例1 讨论曲线y＝x3的凹凸性．
解 函数y＝x3的定义域为（－∞，＋∞）．
y′＝3x2，y″＝6x．
当x＜0时，y″＜0，所以曲线在（－∞，0］上是凸的；当x＞0时，y″＞0，所以曲线在［0，＋∞）上是凹的．
当x＝0时，y′，y″都不存在．
当x＜0时，y″＞0，所以曲线在（－∞，0］上是凹的；当x＞0时，y″＜0，所以曲线在［0，＋∞）上是凸的．
定义2 如果连续曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））两侧的凹凸性不同，则称点（x0，f（x0））为曲线的拐点．
由定理1可知，在拐点的两侧f″（x）必然异号．故而在拐点处f″（x）＝0或f″（x）不存在．
例3 求曲线y＝ln（1＋x2）的凹凸区间及拐点．
解 函数y＝ln（1＋x2）的定义域为（－∞，＋∞）．
令y″＝0，解得x1＝－1，x2＝1．
x1＝－1，x2＝1把函数的定义域（－∞，＋∞）分成三个部分区间：
（－∞，－1］，［－1，1］，［1，＋∞）．
在（－∞，－1）内，y″＜0；在（－1，1）内，y″＞0；在（1，＋∞）内，y″＜0．因此曲线的凹区间为［－1，1］；曲线的凸区间为（－∞，－1］，［1，＋∞）．
当x＝－1时，y＝ln2，点（－1，ln2）是这曲线的一个拐点；当x＝1时，y＝ln2，点（1，ln2）也是这曲线的拐点．
定义3 当曲线C上的动点P沿着曲线C无限延伸时，如果动点P到某直线l的距离趋近于0，则称直线l为曲线C的渐近线，如图3.12所示．
图3.12
曲线的渐近线有两种：垂直渐近线和斜渐近线（包括水平渐近线）．
所以，直线x＝0与x＝－1都是曲线的垂直渐近线．
如图3.12所示，设直线y＝ax＋b是曲线y＝f（x）的斜渐近线，下面讨论怎样确定常数a和b．
由点到直线的距离公式，曲线y＝f（x）上点（x，f（x））到直线y＝ax＋b的距离
因为直线y＝ax＋b是曲线y＝f（x）的斜渐近线，故
函数图形是函数的直观表示．借助于函数图形可以直观地反映函数的变化规律和性状，有助于对函数进行深入研究．
利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域，考察函数有无奇偶性与周期性．
（2）求f′（x）和f″（x）．
（3）求出f′（x），f″（x）在定义域的全部零点，并求出f（x）的间断点以及f′（x），f″（x）不存在的点．用这些点将函数的定义域划分为若干个部分区间．
（4）确定在这些部分区间内f′（x）和f″（x）的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点，以及函数的极值点．
（5）确定函数图形的渐近线．
（6）算出第（3）步所得各分点处的函数值，确定出图形上的相应点．为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点．然后结合第（4）和第（5）步中的结果，连接这些点画出函数y＝f（x）的图形．
解 （1）所给函数的定义域为（－∞，＋∞），由于
所以函数f（x）是偶函数，它的图形关于y轴对称．因此可以只讨论［0，＋∞）上该函数的图形．
（2）求导：
（3）在［0，＋∞）上，方程f′（x）＝0的根为x＝0；方程f″（x）＝0的根为x＝1．用点x＝1把［0，＋∞）划分成两个区间：［0，1］，［1，＋∞）．
（4）对单调性、凹凸性、极值和拐点列表讨论．
（5）由于
，所以图形有一条水平渐近线y＝0．
（6）计算x＝0，1处的函数值：
图3.13
解 （1）所给函数的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）．
（2）求导：
（3）令y′＝0得x1＝－1，x2＝3．这两个点把定义域划分为
（－∞，－1］，［－1，1），（1，3］，［3，＋∞）．
（4）对单调性、凹凸性、极值和拐点列表讨论．
（5）由例3知有垂直渐近线x＝1及斜渐近线
（6）根据上述讨论，连接相关点可描绘出函数的图形，如图3.14所示．
图3.14
1．求下列曲线的凹凸区间和拐点：
（1）y＝3x－2x2；
（3）y＝x3－6x2＋3x；
（4）y＝xe－x；
（5）y＝（x＋1）4＋ex；
2．已知曲线y＝x3＋ax2－9x＋4x在x＝1处有拐点，试确定系数a，并求曲线的拐点和凹凸区间．
3．问a，b为何值时，点（1，3）为曲线y＝ax3＋bx2的拐点？
4．求下列曲线的渐近线：
5．描绘下列函数的图形：
（1）y＝2x3－3x2；
（2）y＝x4－6x2＋8x；
（4）
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