第十四章 监督博弈
勿以恶小而为之、勿以善小而不为。
—诸葛亮
本章指引：监督博弈是混合策略博弈中的一种，是人们在工作生活中经常会看到和碰到的一种博弈，如偷税漏税中的征税博弈，雇主与雇员之间的偷懒博弈，食品安全中的监管博弈，甚至包括老师与学生之间的点名博弈。本章直接根据现实生活中的具体案例，用监督博弈模型进行深入分析，模型分析所引发的思考，相信一定是你所喜欢的。
在企业里，雇主与雇员的利益冲突是个永恒的话题，因为他们有着自己独立的行为，同时也在努力使自己的利益最大化。在给定企业总收入的情况下，扣除物质成本的投入，雇主和雇员之间的利益分配就是一个此消彼长的零和博弈。所以我们可以把与雇员和雇主看作博弈的双方，分析他们直接的收益（见表14.1）。
表14.1 雇主与雇员的博弈
表14.1中，V是雇员的贡献，即雇员为雇主创造的价值；只有当员工努力工作的时候，雇主才能得到V的收益。W是雇员的工资；除了员工偷懒被雇主查到的情况，雇主是要给雇员发工资的。H是雇员的付出；当雇员不偷懒时，雇员的收益将损失H，即努力工作的成本。C是检查的成本；当雇主选择检查的时候，雇主的收益将减少C。F是雇主发现雇员偷懒时的惩罚，即没收雇员所交的抵押金。
同时，我们假定HWV，W＞C-F。HWV的条件保证了雇主和雇员的参与，其中，HW保证了雇员愿意被雇佣，WV保证了雇主愿意雇佣雇员。W＞C-F的条件则保证了双方的博弈是一个混合策略的均衡。如果WC-F，那么无论雇员是否偷懒，雇主都会选择不检查。试想一个雇主去检查一个雇员的成本要花10万元，罚没的抵押金只有5万元，而工资的支出是3万元，那么即便是在雇员偷懒的情况下，去检查一个雇员也是不合算的一件事。
接下去，我们一起来讨论以下三个问题：
（1）求解混合策略纳什均衡。
（2）求解雇主支付W为多少时，其期望收益最大？
（3）如何理解雇员所交的抵押金？
这里，先介绍混合策略纳什均衡的两种解法。假设雇主检查的概率是α，雇员偷懒的概率是β。
第一种办法是利用微分法（对微积分不了解的读者可以跳过此内容）：
首先，根据所设的策略集（各个策略选择的概率）求出雇主与雇员的期望收益。
然后，将雇主的期望收益对α求导，结果为0。此时，设一个均衡点，解出α。再将雇员的期望收益对β求导，设结果为0，解出β。
这样，我们求出了纳什均衡的混合策略解。即当雇员以H/（W＋F）的概率偷懒，雇主以C/（W＋F）的概率检查时，就达到了均衡状态。
第二种办法更简单些，直接运用了均衡的理念：
当达到纳什均衡的时候，任何一方都不愿意改变自己的策略。
即对于雇主来说：
当T检查＝T不检查的时候达到均衡。
同理，对于雇员来说：
同样可以解出，均衡时：
这时，雇主的期望收益是：
当W最大时：
雇员的期望收益为：
T不偷懒=W-H
双方总的期望收益是：
T总＝V-H-CV/（W＋F）
当W＝
时，双方总的期望收益是：
基于以上分析，针对双方的博弈可以得到四个推论：
（1）当W越大，雇主的检查概率下降，雇员的偷懒概率也会下降。高薪养廉的含义即在此。
（2）当F越大，雇主的检查概率下降，雇员的偷懒概率也会下降。乱世用重典的含义即在此。
（3）当H越大，雇主的检查概率增加，雇员的偷懒概率不变。越是难以完成的工作，越需要雇主加强监督。
（4）当C越大，雇主的检查概率不变，雇员的偷懒概率增加。越是难以监督的工作，雇员就越会偷懒。
基于以上分析，针对雇主给雇员的工资可以得到三个推论：
（1）当V越大，雇主给的工资越高，多劳多得，论功行赏的含义即在此。
（2）当C越大，雇主给的工资越高。这里的理由也很简单，越是难以监督的工作，雇员就越会偷懒。为了减少偷懒的损失，雇主必须通过一个更高的工资来减少雇员的偷懒。
（3）当F越大，雇主给的工资会下降。这说明，当雇主拥有更重的处罚权，雇员会得到一个更少的工资。从雇主看，通过给雇员一个更低的工资提高了其期望收益。
上述的分析表明，从期望收益来说，雇主的期望收益会随着F的增加而上升；雇员的期望收益会随着F的增加而减少；总的期望收益和支付的工资W和抵押金F的大小无关，只和雇员的贡献V、雇员的劳动力机会成本H和监督成本有关。
因为收取抵押金有助于提高雇主的收益、降低雇员的收益、改变双方的利益分配格局，因此，这是一件雇主特别希望去做、而雇员又特别反对的事情。除非雇主能够因此给雇员一个合理的补偿。中国的法律已明确规定不允许向新员工收取押金。但是，收取押金这一高效的方式还是在用一种隐含的方式进行着。这就是通过调节工资来积累押金。如右图所示，V代表雇员创造的价值，t代表雇员为公司服务的时间，W代表薪水。基本上在所有的企业里，薪水都是随着资历而增加的（图中为了简化条件，画的是一次函数，在现实中工资曲线更可能是抛物线）。但是，雇员创造的价值V和服务时间基本上是呈一个二次函数。图中阴影部分的面积，就是公司收走的押金。如果雇员选择跳槽，那么他之前累计的押金也就被没收了。但是，如果雇员始终对雇主忠诚，到了一定的年限，雇主会返回押金。此年限就是W与V的交点所对应的t轴上的值。进一步看，工资增长曲线的斜率，在不同的类型的企业里也不尽相同。在一般的中国企业，工资的增长曲线会比较平缓，但是在一些外企里面，工资的增长曲线是非常陡峭的。同样是外企，据说日本的企业起薪低、增长快，欧美的企业起薪高、增长慢。
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