时纪数学的另外一个阻力

17世纪数学的另外一个主要创造是我们所称的微积分，这门科学可以描述为将数学应用于表现自然界中实际发生的不断变化的方法，而不是应用于数学家们通常设想的简单化的不现实的情况中的方法。微积分有很多形式，但其内在本质可以用一个非常简单的问题来描述——找到一个曲线所封闭的区域的面积。

一个长方形如果高位h，长为l，则面积当然可以描述为hl，即长与高的乘积。但是我们可以将这个面积表现为不同长条a、b、c、d……的和，如同图6-7。如果任何一个长条的宽为w，那么面积为hw，所有hw的和即为所需的面积的总和。

图6-7

这很简单，但是现在设想，该区域不是由图6-7中的直线边所限制，而是由图6-8的曲线边所限制，则hw则完全不同，因为h变得不同；当我们从A到B、h不断变化。令新的长条a、b、c……的高度为ha、hb、hc……那么我们所找的总面积为haw＋hbw＋，hcw＋……

图6-8

但是这里对长条的高度的测量存在一个含糊，我们将图6-9中长条的高度取不同值，如图9中的AP、A′P′、A″P″，则结果也会不同。显然，获得连续且确切值的唯一方法是将高AP、A′P′、A″P″排列成一样，我们只有通过将长条的宽度变成无限小才可以达到。这样我们所得到的面积是无限数量的长条的和，而每一个面积都是0，这个简单的例子包含了无限小微积分的精髓。

图6-9

图6-10

约翰·瓦里斯在《无穷算术》（1665年）中给出了上面最后一个例子，并进一步显示，被曲线围起来的面积可以用方程y=xm表示，其中m是整数，是底和高的乘积的倍。瓦里斯讨论了这种情况的一些特例，并将该方法延伸到方程y=（1-x2）m，其中m是整数，并且y=a+bx+cx2+ex3+……在后面一种情况中，面积为x（a+bx+cx2+ex4+······）（数学家可以看到，积分学的萌芽已经出现，瓦里斯发现了我们现在表现为∫xmdx∫（1-x2）mdx和∫（a+bx+cx2+…）dx的量的值。此后不久，帕斯卡对我们现在表现为∫sinφdφ, ∫sin2φdφ和∫φsinφdφ的量给出了正确的值）。

从这一点出发，牛顿后来做出了最多的贡献，尽管他在发表自己的结果时非常漫不经心，功劳终于记在其他人名下。当他在1664—1665年冬天读到瓦里斯的书时，看到了将展开的重要性。他着手工作，不仅发现了这个，而且还发现了y=（I-x2）m的更加一般的展开式，其中m可以是任何量，分数或整数、正数或负数——其展开式一般被称为“二项式定理”。我们已经看到，牛顿告诉我们，他在发生瘟疫的两年——1665年和1666年得到该结果。“正当做出发明的鼎盛时期”，而且“比以往任何时候都更加注意数学和哲学”。但是他直到1704年才发表，首先出现在《光学》的附属文章中，题目为《求积术》，这样二项式定理首次公诸于众——比刚发现时整整迟了40年。

他的附属文章的另外一部分比第一部分更加重要，因为文章解释了牛顿所有的数学发现——微分学，即他自己所称的“流数法”，他最初是在一份日期为1665年的手稿中开始研究的。

牛顿想象，一个量X，他称之为“流量”（变量），不断地随着时间变化。他将其变化的速度描述为“流数”，并用X表示，他希望将“流量”和“流数”之间的关系用精确的数学语言表示出来。

试想，流量x的变化是，在经过t秒时间后，其值总是at2，无论t的值是多少——即伽利略所发现的球滚下斜坡的定律。牛顿首先将时间t分割，即变化发生在无数的时刻，每一次都具有无限短的时长o，并想象，在经过时间t之后，另外一个时长o过去。在二者期间，x增加了ox∙的量，因而变为at2＋ox∙。但是，因为总量时间t＋o现在已经过去，x的新值一定是a（t＋o）2或t2＋2ato＋ao2。因为这一定与at2＋ox一样，所以x的值一定是2at＋ao。最后的项ao为无限小量，因而可以“划去”，这样我们剩下了2at作为at2的流数。如果一个物体在时间t中降落了at2的距离，，那么它的降落速度一定是2at。

在另外一种问题中，流数为已知，需要找到的是流量。例如，根据观察，空间一个自由落体的速度每秒增加速度为32英尺/秒。在t秒之后，下落的速度是32 t。这样，如果落体下落了y英尺，那么32 t的必然是y的流数。我们刚刚看到，2 at是at2流数，所以32 t一定是16 t2的流数，即在下落t秒后，他已经下落了16 t2英尺的距离。

这些简单的描述可以让我们多少看到了这两个数学分支如何将自然现象完全转化为研究。毫无疑问，不同的问题可以通过不同的方式解答——实际上，上述的问题已由伽利略通过其他方式解决。但是其他的解决依赖于天才的工作，甚至依赖于诸如方式也恰好正确之类的运气，而流数方法将每一个问题降解为例行工作。并不是所有的问题都可以通过这种方法解决，但这通常可以容易地看出一个问题是否可以解决，而且如果可以，找到解决方法。

如果牛顿在发现定律之初即马上公布于众，那对科学的价值将是巨大的。事实上，他在1669年写了一份提纲，并传给巴罗，当然还有一些朋友和学生，但算不上一般意义所说的发表。在1676年6月和10月——在发明该方法后10年，我们发现他给同事莱布尼茨写了两封信，解释了他所做的。他还无法向他提及任何已经发表的作品，并且将自己的成就用外人无法辨识的密码隐藏起来：6a cc dœI 3e ff 7i 3l 9n 4o rr 4s 9t I 2v x，之后直至1704年相关的基本内容发表在《光学》的附属文章中，关于该方法的完整的描述首先出现在1711年。

此时，科学的进步已经产生了与牛顿的发现类似的成果，卡瓦列里、瓦里斯和许多其他人的工作正沿着这个方向走来。这样，牛顿就经历着其他人重复他的发现并首先发表的风险。事实上情况的确如此，这个人就是莱布尼茨。

莱布尼茨（1646—1716）戈特弗里德·威廉·莱布尼茨出生在莱比锡并在那里接受教育，20岁前学习了数学、哲学、神学和法律等科目。在为美因茨选帝侯服务了一段时间后，他进入外交领域。他接下来为布伦瑞克家庭服务，1676年成为汉诺威公爵的图书馆馆员，这使得他有足够的闲暇时间进行哲学和数学的研究。1682年，与奥图·门克一道，他建立了一本杂志《博学文摘》，当时欧洲唯一一本私人拥有的科学杂志。

从这本杂志1684年10月号起，他发表了一系列论文阐述无穷小微积分，其内容与牛顿的发现基本一致，但是简单，形式大为方便。他的指示方法我们今天仍然使用，比牛顿的方法具有长足的进步。牛顿用ox·代表x的增长，而莱布尼茨写为，或者更为简单的dx。当莱布尼茨开始在1684年发表对该课题的进展时，牛顿直到1704年才起步，所以莱布尼茨获得了世界的更多目光，即便牛顿不做出发现，微积分也仍然会为世界做出贡献。情况也许对牛顿非常严重，并导致了长期的痛苦的争议，首先在牛顿和莱布尼茨之间，然后——直至他们去世，或在其去世之后，在二人的支持者之间。双方都不否认两人的观点基本一致，双方都不否认是牛顿首先做出发现而莱布尼茨首先公诸于众。双方的分歧在于，莱布尼茨是否曾经或多或少地看过牛顿的手稿，尽管他本人曾不断否定。他看过这个说法也许更应该具有说服力，因为当他在伦敦时，牛顿的手稿仍然躺在皇家学会里，可能向莱布尼茨显示过。幸运的是，这样的口角并没有对科学的发展产生大的影响，对当代的书籍也没有形成阻碍。

莱布尼茨写了很多其他的数学论文，大多数都在《博学文摘》上，但是除了他的无穷小微积分之外，没有任何一篇具有一流的重要价值，其中很多充满了显要的大错，最终还是无穷小微积分方法令整个欧洲熟知。同样的事情发生在伯努利兄弟身上——詹姆斯·伯努利（1654—1705），生于巴塞尔，并终身生活在那里，成为当地大学的数学教授，以及他的兄弟约翰（1667—1748），在伯努利去世时继任了他的职位。

[1]1英尺等于0.3048米。——译者著。