控制变量引起的合作金融自组织

在上面合作金融系统的发展讨论中，只考虑了合作金融系统的状态变量引起的自组织及引起的合作金融发展，未考虑合作金融生态环境对合作金融发展的影响，即未考虑控制变量的影响。下面再分析由于合作金融生态环境造成合作金融发展空间不均匀，受控制变量的影响，合作金融系统存在一维扩散的情况，此时合作金融发展出现新的变化，方程（4－7）、（4－8）变为：

其中各量均为已标度过的量，d1，d2与实际扩散系数D1，D2有关系，d1＝D1／k4，d2＝D1／k4。方程（4－16）、（4－17）存在同样的均匀定态解x＊0＝a，y＊0＝b／a。先进行线性稳定性分析，假设合作金融发展有固定边界，这时，合作金融发展的解与定态解偏离小量和合作金融空间坐标r有关，一般可写成：

l是研究合作金融系统不均匀方向上的线度，（m＝1，2，…）将x＝x0＋u，y＝y0＋v代入方程（4－16），（4－17）中，仍取线性项，可得：

方程（4－20）、（4－21）的特征方程由（3－14），有：det（A－λE）＝0，即：λ2m－Tλm＋Δ＝0.其中：

其特征根为：

于是我们仍可以利用上一章所述理论来分析合作金融发展解的稳定性和分叉现象。显然，对于m的某个位，每当特征方程至少有一个根λm的实部为正时，定态对波数为m的不均匀扰动是不稳定的，这样的扰动（涨落）就会变大而可能导致某种以波数m为特征的有序结构。

现在研究在a，l，d1，d2给定情况下，当b和m变化时，合作金融发展解的变化情况。把m－b作为参量就有：T＝T（m，b），Δ＝Δ（m，b）。

这样就可以将讨论解的稳定性和分叉现象直接从T－Δ平面上转化到m－b平面上来进行。这里主要有两类分叉：

（1）在T≠0，Δ＞0，且T2－4Δ＜0的区域，λm存在着一对共轭解，且在从T＜0转变到T＞0时出现极限环分支。T＝0是临界稳定。由公式（4－22）可知：

当b＞（a2＋l）＋β（d1＋d2）时，λm的实部为正，定态解不稳定，也就是合作金融系统不稳定；

当b＜（a2＋l）＋β（d1＋d2）时，λm的实部为负，定态解稳定，也就是合作金融系统稳定，所以T＝0，即：

b是临界曲线，如图4－2所示。图中曲线上m＝0，1，2，…各点是分支点，在这些点上出现合作金融新的极限环分支。当m→∞时，从图上可以看出合作金融系统将趋于稳定。

图4－2　合作金融发展稳定性示意图（有环境影响1）

（2）在T≠0，Δ＜0，且T2－4Δ＞0的区域，λm为实数，有可能出现定态分叉。由公式（4－23）可知，其临界曲线满足关系式：

此曲线有极小值，即

这时＝bμ＝｛l＋a（d1d2）1／2｝2。

当b＞时，解不稳定；当b＜时，可能有稳定解。在临界曲线上，对应于m等于整数的点是定态分支点。如图4－3所示，它表示了和稳恒定态解的分叉相关联的合作金融体系线性稳定性情况。

图4－3　合作金融发展稳定性示意图（有环境影响2）

显然，公式（4－25）和公式（4－26）定义了b－m图上稳定区和不稳定区之间的分界线。其中由公式（4－25）所确定的部分定义了稳定区和涨落能振荡地变大的不稳定区之间的分界线；而公式（4－26）所确定的部分定义了稳定区和扰动能非振荡地变大的不稳定区之间的分界线。

当b值随控制条件改变而逐渐增加时，导致第一次分支现象的分支点相当于图4－2分界线的最低点（对固定边界条件取）和图4－3分界线的最低点（如μ为整数则取bμ，否则取与bμ最为接近的整数m的bm，即为bc）两点中较低的点。根据上一章分支解的存在和稳定性定理可知，如bμ（或bc）小于（或），则第一分支点对应的本征值是实的，由它产生的分支解是定态解；如果（或）小于bμ（或bc），则第一分支点对应的本征值带有虚部，由它产生的分支解是随时间振荡的。

由上面的线性稳定性分析，可以定性地知道，在合作金融发展模型中，状态变量b值增加时在什么情况下合作金融稳态会变得不稳定从而发生分叉现象，还可以知道，当b值处于第一分支点附近时分支解的一些定性行为。例如分支解是时间振荡还是空间周期的，其特征频率和特征波长（波数）大致是多少（假如lm对m并不兼并），这些定性行为是从线性化方程（4－20）、（4－21）的解（本征函数）的形式分析出来的。由上面的分析可知，由于有控制变量的作用，合作金融系统在自组织和演化的过程中出现了振荡现象和多个分支。