他山之石，可以攻玉／张海南

张海南

2013年10月12日—15日我赴北京参加了弗兰登塔尔现实数学教育思想理论与实践主题论坛，近距离接触了弗兰登塔尔研究所的玛雅教授和米切尔博士，时间虽然不长，但还是有一些收获和想法愿意拿出来以供大家品鉴。

荷兰的教育系统由初等教育、中等教育、高等教育、职业教育、特殊教育等构成。荷兰义务教育法案颁布于1969年，法案规定儿童必须接受至少12年的全日制义务教育课程，年满5周岁开始，而实际情况是大多数儿童年满4周岁便入校学习。

1．初等教育，面向4到12岁的少年儿童。为期8年的初等教育，目标为开发学生的理解与创造能力，引导其情感发展，同时也培养他们的社会与文体能力。

2．中等教育，中等教育从12岁开始，分为中等职业预科教育（VMBO，12-16岁），普通高中教育（HAVO，12-17岁），大学预科教育（VWO，12-18岁）。虽然从中学开始分流，但进入中学后的学生在前三年仍然学习统一的课程，然后再做出自己的选择，并继续各自的学习方向。

VMBO，水平最低、长度最短，毕业后上职业教育学校（MBO）。MBO也分两种不同的形式，一种是理论专业的，主要是在学校学习，每年要在一个公司实习一段时间；另一种是实践专业，主要是工作，一周只有一到两天去上课。

HAVO，水平平均，长度也平均，5年读完，毕业之后就可以读HBO学士。

VWO，水平最高，长度也最长，要花六年的时间才可以读完，VWO的毕业生直接可以读WO的学士。

3．高等教育，包括高等专科教育（HBO）、综合大学教育（WO），分别由高等专科学院、综合大学负责，两种教育的课程期限为4-5年。

4．各类特殊学校专为年龄在3到20岁之间，有精神、肢体或社会残障的幼儿与青少年而设立。此类学校除提供正常的教育外，还给予这些孩子额外的关照，旨在能让他们尽可能又快又好地汇入正常教育主流中去。

表面看来荷兰和我国的教育体系大体基本一致，但通过玛雅教授和米切尔博士的介绍后还是发现了一些让我印象极深刻之处：

其一是教学自由。荷兰的课程标准只有几页纸，篇幅短，语言简略。如中小学数学课程标准一共才五十多条，即便是课标解读也不过和我们的课程标准薄厚差不多。加之荷兰政府不干预学校的具体教学内容和教学方法，因此具体到学校如何进行教学，完全取决于学校的办学理念和教学计划，由学校和教师自行决定。学生课本则由商业出版社根据国家课程标准出版和发行，无须许可和审查，如果愿意，学校、教师可以选择好几种教材同时使用，也可以一种教材都不选，自行开发供自己学生使用的教材。

其二是学生学业压力小。荷兰从小学毕业开始就有全国统一的毕业考试（学生自愿参加），但与我们所想的相反，在荷兰，教师的最终评语及建议（义务教育阶段）才会对一个学生将进入何种类型和何种层次的学校接受进一步的教育起决定性作用，远比学生自己的考试成绩重要。一般情况，当一名学生小学毕业水平介于两种不同层次的教育之间时，教师会建议其选取更低层次的教育。

“一个人的学习不应由抽象化的结构或概念开始，再过渡到应用，而应该始于丰富的、需要数学组织的情景。换句话说，数学学习必须始于可以进行数学化的情景。”根据这样的观点，数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始，因为这样的系统是封闭的，而“数学是一项人类活动”，让学生经历从情景入手，这里的情景可以来源于实际生活、童话世界和数学世界，沿着数学发现的活动轨迹，从形象到抽象，从直接经验到间接经验，从过程到结果，再把它们应用到新的现实问题上去。这一点其实和我们2011版新课标要求有异曲同工之妙，就是引导孩子完整经历数学发现、产生、再发现、再创造的过程，发现生活中的数学与课堂上数学的联系，益于学生理解数学、热爱数学，使数学成为他们生活中有用的本领。

从本质上讲就是强调数学学习要经历的三个过程。

其一是水平数学化。即发现情景问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理的数学化过程，是从现实生活到数学符号的转化。通过水平数学化，一个现实问题转化为数学问题。

其二是垂直数学化。即在水平数学化之后进行的数学化，是从具体问题到抽象概念和方法的转化，是建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程。

其三就是数学应用。即从生活中来再到生活中去。

这一点其实从玛雅教授和米切尔博士的讲座风格可见一斑，两位学者的讲座应该是秉承了其在荷兰教学的一贯风格，绝不是单纯的说教，而是通过大量荷兰教材实例、所做研究的调查结果引起参会者思考，进而通过互动交流阐述个人思想，从而影响他人，使其接受自己的思想并将其付诸实践。

有这样一个例子，一节历时一个半小时的八年级（相当于我国六年级）几何课上，教师先通过两个差不多的盒子引入，然后学生讨论探索理解了体积公式（这与我们的教学基本一致），之后教师拿出一大堆压扁的盒子，让两个同学结为一组，计算这些扁盒子的体积。当孩子们把盒子复原后都计算得差不多的时候，老师又拿出了一卷彩纸和彩带，让同学们尝试着用最少的纸和最短的彩带把这些小盒子一个一个包装起来。第二天，这些包裹的像礼品盒般的小盒子都悬挂在教室的天花板上，它们一串串地悬垂下来，微微摇摆，在阳光的照耀下，教室仿佛成了童话中的世界……

区别于我们的课堂教学基本停留在纸面上，这节数学课从体积到面积，再到手工，最后到布置教室，如此大跨度的安排既动手又动脑，学生始终能保持较高的学习热情，始于现实，终于现实，数学与现实完美地结合在了一起。

1．Ups and Downs（图表和曲线图）

这个单元是7年级代数系列中的一个单元，原标题直译应为“上上下下”，大约供6节课（每课时45分钟）左右使用，学生用书共54页，分4个部分，单元目录如下：

A．生长的区别：

年轮；成长；树的护理；石油污染；向日葵；儿童成长对照表；沙漠需要的水；小结。

B．循环：

钓鱼；潮涨潮落；金门大桥；空调；骆驼；血压；跑道；小结。

马拉松；头发和指甲；租辆摩托车；小结。

C．越来越快：

一种非洲水生植物；细菌的细胞分裂；睡莲；小结。

D．半衰期：

打对折；药的吸收；碳14；小结。

从目录可以看出，这个单元涉及的数学知识包括：线性函数，非线性函数，递增函数，周期函数，指数函数等等，重点是运用图表，曲线图和公式理解和表示关系的方法。该单元的每个部分都是由一些内容丰富的具体情景构成。学生通过观察、思考、比较，运用图表和曲线图对包括植物、人体生长、循环等现象的资料进行分析，了解不同自然现象会因时间发生或快或慢的变化。伴随着学生的不断深入，通过树的生长、人的头发和指甲的生长的例子，使他们越来越多地发现公式对研究线性变化的作用。随后的摩托车租费使学生对线性变化的理解进一步细化，为学生随后学习斜率、切线等概念做足了准备。通过分析涨潮与落潮，脉搏次数与血压之间的关系以及赛车速度等一系列具体情景，学生开始对周期函数的概念有所了解。结合对速生植物和细胞分裂现象的探索，学生可以在不太严格的水平上发现呈指数增长的数学模型，并且能不断发现加法与线性增长和乘法与指数增长之间的关系等。这样的讨论，能帮助学生读懂报纸、杂志和广告中以图表、图形、曲线图形式出现的形形色色的数据信息，并逐步发现和理解蕴涵在丰富情景中的线性函数和指数函数模型，掌握用图形和公式表示函数关系的方法。

2．下面的素材选自《情景数学》（供7年级使用）中的“十的幂”（Power of ten）这一册，内容包括正整数、负整数幂和科学计数法。共分6个部分，这里是其中的第四个部分D：

D．100万有多大

这一节的内容与100万有关。100万美元，100万秒等等。一个人完成下面所有的问题恐怕要花很多时间。可以分成小组，每个小组讨论其中的一部分问题。然后每个小组把他们是如何解决问题的向全班作一个报告，报告不仅要有结论，更重要的是要有说明。

1．a．假设你所在的城镇年度盈余100万美元，并将把这笔钱平均分给每个居民，每人能分多少？

b．100万个25美分硬币能摞多高？

2．106个字母能占多少页的篇幅？

3．a．一个人的生命能达到100万秒吗？

b．100万天以前发生过什么？

4．106步能走多长的距离？

5．a．100万张1美元的钞票能摞多高？

b．用10美元一张的钞票摞100万美元，能摞多高？

c．用100美元一张的钞票摞100万美元，能摞多高？

d．几年前一位美国流行歌星被指控私自携带200万美元去古巴。指控认为这200万全是100美元面额的钞票被塞在一个小旅行箱里带走的。当一位记者向这位歌星询问此事时，他回答道：“如果你认为我这个小行李箱能装那么多钱，我将送你200万。”你认为存在这样的箱子吗？

6．从1数到106需要多少时间？

7．多大的仓库能储存106块砖？

8．假定你的自行车安装了一个计数器，纪录自行车前轮的转数。计数从0开始，达到106时你大约骑行多远的距离？

9．你认为你一生阅读过106个词汇吗？是更多还是更少？

我们经常说让学生建立数感，如何建立，看到以上教材内容，你会发现也许我们的理解可能还是不够到位，真正地从现实中选取情景并让学生从不同侧面不同角度去理解和把握，更有利于学生理解数的意义，建立数感。同时我们还可以看到教材呈现的内容绝不限于纯数学，而是涉猎甚广，这不正是学科整合的范例吗？

以上是我学习的一点想法和收获，荷兰与我国文化传统、教育背景均不相同，两国教育必然会存在差异，“他山之石，可以攻玉”，我们不必妄自尊大，亦不必妄自菲薄，在立足国情的基础上如何让我们的课堂更加活跃、自由、现实，是我们需要思考的。