“等差数列的前项和”教学案例

“等差数列的前n项和”教学案例

中山市龙山中学　曹毓

本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(人教A版)中第二章的第三节“等差数列的前n项和”(第一课时)。本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用。

一、教学过程

(一)创设情景,唤起学生知识经验的感悟和体验

世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格,传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层,你知道那个图案一共有多少颗宝石吗？

(多媒体展示有25层的三角形图案,如图1)

图1

【设计意图】情境学习理论认为:数学学习总是与一定的知识背景,即“情境”相联系。从实际问题入手,图中蕴含算数,能激发学生学习新知识的兴趣,并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用,为新课的讲解作铺垫。

【知识链接】高斯,德国著名数学家,被誉为“数学王子”。二百多年前,高斯的算术教师提出了这个问题:1+2+3+…+100=？

据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时, 10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:

(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050。

【学情预设】高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性。教学时,应给学生提供充裕的时间和空间,让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律。学生对高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配对的方法来求和,但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段,为了促进学生对这种算法的进一步理解,设计以下三道由易到难的问题。

(二)由易到难,在自主探究与合作中学习

问题1　图案中,第1层到第51层一共有多少颗宝石？

该题组织学生分组讨论,在合作中学习,并把小组发现的方法一一呈现。

【学情预设】学生可能出现以下求法:

方法1:原式=(1+2+3+…+50)+51

方法2:原式=0+1+2+…+50+51

方法3:原式=(1+2+…+25+27…+51)+26

以上方法实际上是用了“化归思想”,将奇数个项问题转化为偶数个项求解,教师应进行充分肯定与表扬。

【设计意图】这是求奇数个项和的问题,若简单地模仿高斯算法,将出现不能全部配对的问题,借此渗透化归思想。

问题2:求图案中从第1层到第n层(1＜n＜100, n∈N*)共有多少颗宝石？

【学情预设】学生通过激烈的讨论后,发现n为奇数时不能配对,可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解,教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键。

【设计意图】从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和,让学生领会从特殊到一般的研究方法,旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进。

启发:(多媒体演示)如图2,在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形。

图2

【设计意图】借助几何图形的直观性,能启迪思路,唤醒学生记忆深处的东西,并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型。

通过以上启发学生再自主探究,相信容易得出解法:

问题3:在公差为d的等差数列{a_n}中,定义前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n,如何求S_n？

由前面的大量铺垫,学生应容易得出如下过程:

∵S_n=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+…+[a₁+(n-1)d],S_n=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+…+[a_n-(n-1)d],

组织学生讨论:

在公式1中若将a_n=a₁+(n-1)d代入又可得出哪个表达式？

(三)设置典例,促进学生对公式的应用

对于以上两个公式,初学的学生在解决一些问题时,往往不知道该如何选取。教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析,根据公式各自的特点,帮助学生恰当地选择合适的公式。

例1　为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛,某同学给自己制定了7天的训练计划如下表(单位:m):

问这个同学7天一共将跑多长的距离？

【设计意图】该例题是将课本53页习题2.3A组第3题改编成表格形式,可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发,选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发,选用公式2,通过两种方法的比较,引导学生在解题时注意选择适当的公式,以便于计算。

例2　已知等差数列5,

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)求数列{a_n}的前几项和为？

(3)S_n的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。

【设计意图】通项公式与求和公式中共有a₁、d、n、a_n、S_n五个基本元素,如果已知其中三个,就可求其余两个,主要是训练学生的方程(组)思想。第(3)小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题,为以后函数与数列的综合打下基础。

【知识链接】(1)由,若令,则S_n=An²+Bn,可知当d≠0时,点(n,S_n)是在常数项为0的二次函数图象上,可由二次函数的知识解决S_n的最值问题；

(2)若数列{a_n}的前n项和S_n=An²+Bn(A·B∈R),则数列{a_n}一定是等差数列；

(3)由S_n=An²+Bn,可知在直线上；

(4)在等差数列{a_n}中,当a_k＞0,a_k+1＜0时,S_k最大,当a_k＜0,a_k+1＞0时,S_k最小。

(四)反馈调控,实现学生对知识的掌握

练习1:已知等差数列{a_n}的前10项和是310,前20项的和是1220,求前n项和S_n。

练习2:等差数列{a_n}中,a₁=-4,a₈=-18,n=8,求公差d及前n项和S_n。

选做题:已知函数,则f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为_____。

【设计意图】分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时,拓展自主发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能,从而实现“以人为本”的教育理念。

(五)回顾反思,深化知识

组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法,小组之间互相补充完成课堂小结,实现对等差数列前n项和公式的再次深化。

(1)从特殊到一般的研究方法；

(2)体会倒序相加的算法,掌握等差数列的两个求和公式,领会方程(组)思想；

(3)前n项和公式的函数意义；

(4)用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式。

(补成平行四边形)

(分割成一个平行四边形和一个三角形)

【知识链接】

(六)布置作业

(1)课本52页习题2.3,第1题(1)(3),第2题(3)(4),第5题。

(2)探索题:

①数列的前n项和,求S_n；

②若公差为d(d≠0)的等差数列{a_n}中,,你能否由题①的启发,得到T_n的表达式？

二、教学反思

建构主义学习理论认为,学习是学生积极主动地建构知识的过程。因此,应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展,让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验,自主地在教师的引导下促进对新知识的建构。

“等差数列前n项和”的推导不只一种方法,本节课是通过介绍高斯的算法,探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和。该方法反映了等差数列的本质,可以进一步促进学生对等差数列性质的理解,而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路。本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路。为了突破这一难点,在教学中采用了以问题驱动的教学方法,设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼方法,再试图运用这一方法解决一般问题。在教学过程中,通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究,尤其是借助图形的直观性,学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。本节课还需要做一定量的强化练习进行巩固。此外教学容量较大,处理的问题略显仓促。