变化方法的实施

一、变化方法的实施

（一）教态的应用

一般来说，教态的选择，一要考虑学生是否可以接受。不要做了一个动作后，学生没几个人明白，或者这个动作学生并不喜欢。二要考虑是否符合教学的需要。不同的教学内容在教态上的选择也是不同的，不能任何内容都选择同样的教态，要善于根据不同的情境选择不同的教态。三是考虑是否适度。频繁地更换教态，会让学生眼花缭乱，反而对教学内容的学习产生不好的影响。

例如，《棱柱、棱锥、棱台结构特征》一课中的教学片段：

师：“不识庐山真面目，只缘身在此山中。”此刻，我初坐在宽敞、明亮的教室里，对于陪伴我们学习，呵护我们成长的教室，大家是否注意过它？

生：（笑）没有。

师：（还之以笑）这我是知道的，大家上课是向来不分心的。不过，今天我们还真得“分分心”，看一看教室，给我们什么样的形象？

生：棱柱，四棱柱，长方体（学生众口不一，从不同角度回答）。

师：是啊，我们认识周围的物体，往往先从“形”的角度把握它们，描述它们的几何结构特征。今天，我们一起跨进立体几何的大门，来领略空间中的数学美。

点评：教师恰当地运用了视觉媒体的变化，将学生的视线由教师引向了教室，此时教室就成为视觉媒体的一种，也是与教学内容相关的实物模型。在这种变化中，学生不仅缓解了视觉疲劳，而且为棱柱的学习增加了感性认识。虽然说多媒体作为视觉媒体的一种，近年来受到教师们的欢迎，但仅从缓解视觉疲劳和简便实用两方面来说，作用不如实物模型。因此，当教学内容可以通过实物模型来展示时，选择实物模型是不二之选。

（二）信息传递和教学媒体的应用

在教学媒体的设计中，依据教学内容的特点和学生的认知特点，首先设计教学中认知内容的发展过程，即根据教学目标，将教学内容分解为相互联系的几个部分，各部分都有一个明确的阶段性认知目标，然后将各个部分按照知识内容本身的逻辑意义和学生认知的规律，安排成一个有机的序列。在此基础上，再考虑各个部分应分别采用何种形式的信息通道与听觉、视觉、触觉通道，或视听结合的通道。例如，在视觉通道中，是选择板书、板画，还是实物、模型、电影电视等，通常只有感性认知特点的内容选用比较直观的媒体，如实物、模型、实验演示等；具有理性认知特点的内容选用比较抽象的媒体，如板书、板画、语言分析等。

问题情境要有一定的数学内涵，要有足够的数学信息，要有利于学生的思考。问题情境不要只是求一时热闹、好玩，只考虑到观赏性，而失去应有的“数学味”。要能够使学生通过教师的讲解分析发现其中所蕴含的数学信息，进而解决相关的数学问题。例如在典型例题的教学中有如下一例。

例：设函数f（x）是定义在（—∞，＋∞）上的增函数。如果不等式f（1—kx—x²）＜f（2—k）对任意x∈［0，1］都成立，求实数k的范围。

大部分学生列出1—kx—x²＜2—k式子后，设g（x）＝x²＋kx—k＋1＞0后，就用Δ＝k²—4（—k＋1）＜0来求k的范围，犯了将函数局部的性质作为整体性质来解题的错误。当然教师可以直接通过讲解的方式来纠错，但最好的做法应该是让学生自己发现错误、纠正错误。因为建立的不等式Δ＜0是对任意x∈（—∞，＋∞）成立，而题设仅是任意x∈［0，1］都成立，误把必要条件当做充分条件来处理。为了让学生对此有一个感性认识，如果用多媒体课件展示k的取不同值时函数的图像，这样学生就很容易找出错误的原因并求出正确的结果。

又如讲解“函数y＝A sin（ωx＋φ）的图像”时，先用五点作图法作出函数y＝sin x和y＝sin的图像。学生发现后者的图像可由前者的图像向左平移个单位得到。接着问：如何由函数y＝sin 2x的图像得到y＝sin 的图像？很多学生立即回答：向左平移。这时反问：“对吗？请用五点作图法对其结果进行验证。”验证的过程使学生发现了问题，反思思维展开，对平移规律的探究也就成为必然。

（三）师生相互作用方式的应用

在师生相互作用的设计中，要依据教学内容及学生情况设计相应的活动方式。一般对于感性认识阶段的教学内容，采取教师与全体学生、学生与教学媒体的形式，某些需要学生充分感知的内容也可采用学生小组实验和小组讨论的形式。对于抽象理性认识阶段的教学内容，通常采用教师与个别学生、教师与全体学生及学生与学生的形式。而对于突发的情况，教师应及时作出变化的选择，不能固守预设方案，以便化被动为主动，既不损伤学生学习的积极性，又不慌慌张张去弥补耽误的时间。

变化案例之一：探索互动教学模式的构建

美国心理学家布鲁纳认为：“探索是数学的生命线。”在数学课堂教学中，教师创设情境，为学生构建一种开放的学习环境，教师通过提问引思，师生探索互动，建立模型，并加以应用与拓展，从而引起学生探索的兴趣，达到课堂教学的目标效能。笔者利用下述问题，构思了一堂习题课，将以问题变化，进行引申推广，一方面培养学生发现知识的兴趣和探索问题的能力，使学生在互动探索中发现变化的事物中存在的规律；另一方面使学生获得学习情趣的感悟和体验，并学会与他人的合作学习。

1.问题提出

在某次数学考试中，学号为i（i＝1，2，3，4）的同学的考试成绩为f（i）∈｛85，87，88，90，93｝，且满足f（1）≤f（2）＜f（3）＜f（4），则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有____________种。

（教师让学生自己求解，并要求先完成的同学举手示意。大约过了三分钟，大部分同学还在埋头运算时，有同学表示已经完成，教师及时请他起来讲解思路。

生：分两种情况进行讨论：若f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4），则需从集合中的5个元素中取4个元素，由于顺序一定，所以有种；若f（1）＝f（2）＜f（3）＜f（4），则只需从集合中的5个元素中取3个元素，所以有种；所以共有＋＝15种可能情况。

师：很好！同学在解较复杂问题时比较困难，无从下手。解此例的关键，是将问题转化为上述两种情形，然后用组合方法解之。

2.问题引申情境

通过本题的解答，启示学生这样设想：元素中间的连接号“＜”、“＝”中，考虑“＝”的个数不同又有什么区别？

（引导学生发现问题当中“共性”的规律，激发学生更大的学习情趣。）

生：设想：元素中间的连接号“＜”、“＝”中，考虑“＝”的个数为两个，即若将题设条件改为f（1）≤f（2）＜f（3）≤f（4），其他条件不变，问题会有什么变化呢？

（经过片刻思考，学生举手发言。）

生：这时需要考虑下列四种情形：

（1）f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4），有种；

（2）f（1）＝f（2）＜f（3）＜f（4），有种；

（3）f（1）＜f（2）＜f（3）＝f（4），有种；

（4）f（1）＝f（2）＜f（3）＝f（4），有种。

故可能情况共有＋＋＝35种。

生：若将题设条件改为f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4），其他条件不变，问题又会有什么变化呢？

师：这个问题提得很好！出现多个等号时，问题就变得更复杂，我们又如何解答呢？比刚才多讨论几种情况呢？

（在课堂中展开分小组讨论，后有小组总结后指定一代表分析讲解。）

生：我觉得此时除了刚才上述四种情形外，还需考虑：

（5）f（1）＜f（2）＝f（3）＜f（4），有种；

（6）f（1）＝f（2）＝f（3）＜f（4），有种；

（7）f（1）＜f（2）＝f（3）＝f（4），有种；

（8）f（1）＝f（2）＝f（3）＝f（4），有种。

故可能情况共有＋＋＋＝70种。

（结论得到各小组的同意认可。这时一小组成员提出了新的发现并试问？）

生：“1，3，3，1”；“4，3，2，1”，老师这里好像有什么规律？

（教师脸上露出十分奇异的表情。运用他多年的课堂教学技巧，抓住学生智慧的闪光点，进行分析深入探索。）

师：这位同学观察得很仔细、很及时，给我们新的启示：在上述设想中，由于条件的变换，能探索其规律吗？

教师和学生一起讨论，发现可以从另一个角度思考上述问题：在连接f（1），f（2），f（3），f（4）的“＜”“＝”中，考虑“＝”的个数的各种情形：

（1）三个连接符号中含0个等号，有种可能；

（2）三个连接符号中含1个等号，有种可能；

（3）三个连接符号中含2个等号，有种可能；

（4）三个连接符号中含3个等号，有种可能。

故可能情况共有＋＋＋＝70种。

3.问题推广情境

为了使学生对排列组合的技能应用更加完善，教师不失时机地提出一个开放性问题供学生再思考。

在某次考试中，学号为i（i＝1，2，3，4，…，m）的同学的考试成绩f（i）∈｛a₁，a₂，a₃，…，a_n｝，a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，且满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤…≤f（m），这m位同学的考试成绩的所有可能情况有多少种？

（学生分组进行讨论，然后由各小组选一名成员进行交互作答，或加以补充。）

生：用类比的方法。在连接f（1），f（2），f（3）、f（4），…，f（m）的“＜”、“＝”中，考虑“＝”的个数的各种情形：

（1）m—1个连接符号中含0个等号，有种可能；

（2）m—1个连接符号中含1个等号，有种可能；

（3）m—1个连接符号中含2个等号，有种可能；

……

（m）m—1个连接符号中含m—1个等号种可能。

故可能情况共有种。

（在一系列类比问题中发掘出相同的规律，学生增强了学习数学的自信心，感到了数学的奇妙和数学中的美，情绪更加高涨。）

生：如何计算呢？

师：慧眼！这位同学提出的问题，是解题过程中的思维的“凝滞点”，我们应如何突破？（一石激起千层浪，学生的主体性更强，积极参与思考和讨论。）

生：从结构上看，联想到二项式定理，由，考虑（1＋x）^m—1；由，考虑（1＋x）ⁿ，因此考虑（1＋x）^m—1（1＋x）ⁿ＝（1＋x）^n＋m—1，展开式中x^m项的系数，左边为，右边为。

故。

生：这个式子和组合数定理很相似，它们之间又有什么关系呢？

……

师：同学们对上述问题的探讨很精彩，展现了知识的交汇，又很好地运用了已掌握的数学知识加以解释，这体现了数学知识与实践的融合，以及在课堂教学中的探索合作学习能力的培养。刚才的问题请同学们课后再进行研究学习，结果请公布在班内的学习窗内。

……

4.创设情境的效果

课后，有的学生通过查找相关资料，在有关组合数学的资料中给出了问题的数学模型：已知的问题实际上是一个重复组合问题，“从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合称为n个不同元素的m可重组合”。

定理：n个不同元素的m可重组合的个数为＋m—1。

证明：设（a₁，a₂，a₃，…，a_m）是取自｛1，2，…，n｝中的任一m可重复组合，并设a₁≤a₂≤a₃≤…≤a_m，令b_i＝a_i＋i—1（1≤i≤m），从而b₁＝a₁，b₂＝a₂＋1，b₃＝a₃＋2，…，b_m＝a_m＋i—1，显然下面两组数是一对一的：

a₁≤a₂≤a₃≤…≤a_m

1≤a₁＜a₂＋1＜a₃＋2＜…＜a_m＋m—1≤n＋m—1

设A＝｛（a₁，a₂，a₃，…，a_m）｜a_i∈｛1，2，…，n｝，a₁≤a₂≤…≤a_m｝

B＝｛（b₁，b₂，b₃，…，b_m）｜b_i∈｛1，2，…，n＋m—1｝，b₁＜b₂＜…＜b_m｝

则由A，B之间存在一一对应，故A中元素个数与B中元素个数相等，又B中元素个数为C ^m_n＋m—1，故证。

（一个完美的结果。体现了师生互动学习的情趣化的能动性。）

点评：数学教育建构观认为，学习数学是主体对数学知识的认识过程，学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿、练习等被动的吸收过程，而是在教师指导下的主动建构学习的过程。数学学习是一种探索互动的学习过程。本案例的教学过程注重师生互动，尤其在数学解题的过程中，学生通过自身的体验与主动探索，深入探究问题的实质与规律，这一过程可以将课堂内基础知识的学习加以延伸与拓展，与课堂外的思考、资料查询紧密结合起来，使探究学习落在实处，学生在此过程中体验科学探究的方法与规律。本案例是对数学问题解决寻找“突破口”的设计。主要表现在：注重数学解题中从特殊到一般的思维过程；培养师生间的合作学习和团队精神；创设良好的课堂情境，增进学习情趣，激发学生求知欲，培养学生分析问题、解决问题的能力。这也告诉我们一个道理：一个实际问题的解决并不等于问题的结束，恰恰是新的问题的开始，数学模型的构建油然而生。主要采用化归与转化、类比和探索的方法论。

变化案例之二：诱发学生对典型问题的探究

在课堂教学中，教师课堂教学变化要符合心理学家维果茨基的“最近发展区”。问题变化的深度要稍高于学习者原有的知识经验水平，具有一定的思维容量和思维强度，使学生需要经过努力思考，“同化”和“顺应”才能解决问题。也就是我们常说的摘果子时，需“跳一跳，够得着”。例如在不等式的复习课中典型例题的分析片段。

例证：已知a，b∈R^*，且a＋b＝1，求证。

课堂中学生提供了几种不同的证明方法。而后教师让同学观察这个不等式的特征。有学生说它具有对称轮换性；有学生说右边的数值是左边的式子的最小值；有的说这个最小值可以利用均值不等式“一正、二定、三相等”的原理求得，只要a＝b＝，就可以得到左边的最小值。受到了以上三位学生的启发，有学生提出了一个大胆的设想，他说根据以上特征可以编制一些新的不等式。如a，b，c∈R^*且a＋b＋c＝1，则有

（1）；

（2）；

（3）a²＋b²＋c²≥。

不等式右边的数是将a＝b＝c＝代入得到的，当然将变量再增加还能得出一些新的不等式。对所编的不等式是否能成立，这样的想法是否具有普遍意义呢？学生的问题意识顿时调动起来了，纷纷编题验证，至于题目的证明可留给学生课后完成。

事实表明，教师创设的问题越是新颖和接近，越具有强烈的对比度，越容易诱发学生的认知冲突，学生的注意力就越容易被吸引，同时激发他们的好奇心，从而产生强烈的探索欲望。至于学生最后得出的结论是否正确，这并不重要，重要的是学生参与了这样的富有创造意义的主动探索，使自己的创新思维能力得到了锻炼和提高，在自求通达的过程中可以体验学习的艰辛和快乐。