巧用类比法教学

巧用类比法教学

祝小芝

一、问题的提出

在日常的教学中，有相当一部分的学生并没有特别优异的抽象思维能力，所以出现某些知识点虽然老师已经反复讲解，但学生还无法真正理解，或者是学生对有些错误按要求多次订正后在后面的练习或测试中很明显的会再犯下同样的错误等教育难题。其实，这些学生之所以反复出现类似的错误其本质是因为他对新知识并没有真正的理解。他要达到理解接受新知识，他需要借助以前学过的、熟练掌握好的知识或是生活经验等渠道，通过教师巧妙的类比教学后才能有效地理解。

所谓类比法，一般地认为是根据两个对象间的相似性，由一个对象联想到另一个对象也可能具有某种属性的思维方法，是一种由此及彼的合情推理，是合情推理的重要推理手段，也是探究性学习的“前奏”。在数学的发展中有着重要作用。恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。

康德说：“每当理性缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指导我们前进！”

在数学课堂教学中，在引入新概念新规律解题等方面，如能巧妙将类比运用到课堂教学中去，则能有效地突破知识难点，顺利帮助学生完成知识的建构，进而能化难为易，能成功有效地解决那些让学生感到困惑的问题，能培养学生的创新精神。

二、类比法在课堂实践运用时的一般要求

（1）在运用类比法时，教师要在精心备课时做好充分的准备，例如首先要寻找什么样的内容可以适合类比法，本人在长期教学实践中发现，一般情况下是新知识比较抽象的，内容比较复杂的，或者是要学的新知识与刚刚学过的知识没有关联等这类情况下，巧用类比法教学时可以使大部分学生很快进入新知识的学习环境中。

（2）在运用类比法教学时，非常重要的一点是要找到适当的类比对象，如果不适当的话，不仅让学生对新知识没有办法理解，而且混到一起时会让学生对所学的旧知识产生怀疑，就所谓学生中流行说的“越说越糊涂”的感觉。所以在运用类比对象时，要注意到类比的对象是否是学生以前所学过的、已经掌握的知识，或者是生活中比较常见的、让学生比较容易接受的实物或者是类比知识之间它们的相似性比较强。

案例1　在立体几何的知识教学中，有许多立体知识在刚开始教学中，单调讲立体内容是非常抽象的，如果能巧妙地运用生活中的立体实物图或平面中的平面知识做一些适当的类比，那对大部分尤其在空间想象这方面有困难的学生是非常有效果的。例如画柱体的几何图时，许多学生画出来的不是立体图，完全是个平面图。这个时候教师可以准备好正方体或长方体的实物图，作些类比。在讲球的知识时，教师对球的概念教学可与圆的概念进行类比。

“平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心，定长就是半径。”

“与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，定点叫做球心，定长叫做球的半径。”

教师在教授“球”这一概念时，可先让学生复习“圆”这一概念。然后设问，“如果我们将概念中的‘平面’换成‘空间’会得到什么样的结果呢？”让学生进行想象、讨论，充分调动同学们的积极性。新概念的建立，完全可以由学生自己完成。通过这样的类比设问，将知识建构的主动权还给学生。能更好地激发学生学习数学的积极性。

将类比用于定理的教学，可加深学生对定理的理解和记忆，使所学知识系统化，如：在球这一节中对球的性质“一个平面截一个球面，所得的截线是以球心在截面内的射影为圆心。以R为球的半径，d为球心到平面的距离为半径的一个圆。”若将此性质与圆中的垂径定理进行类比则它的证明就是一件十分容易的事情。而且通过类比，以旧引新，学生对性质的记忆也会更加牢固，理解也更为深入。

（3）在运用类比法教学时一般还要求对于类比与被类比这两者之间的知识中要能够找到非常简洁的链接点，教师在准备时要精心设计好，不能兜很大的圈子，才能隐约找到一点相似性。

案例2　高中一年级第二学期的三角比内容中有许多三角公式可以用类比法快速得到。

例如，在学习了两角和的余弦公式推导后，后面的两角差的余弦公式，两角和与差的正弦公式即可运用类比推导得出。

由两角和的余弦公式cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ。

简单运用类比，让学生自己用－β去代替公式中的β得到两角差的余弦公式cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ。

在这个基础上，两角和与差的正弦公式也由学生自己类比探索推得。

当然，运用类比法让学生自己探索获取新知时教师要作必要的引导，例如这里就需提醒学生对比sin（α＋β）与cos（α＋β）或cos（α－β）之间的内在联系。

这里关键将sin（α＋β）转化为cos［90°－（α＋β）］或

cos［（90°－α）－β］（将未知转化为已知所学的知识类比得出）

进一步推导，得出：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

另外，三角函数这一内容中，教师完全可以让学生在正弦函数的基础上自己类比正弦函数的性质，学习余弦函数的性质。

在推导余弦函数的性质时要注意正弦余弦之间的内在联系。例如在研究余弦函数的单调区间时余弦函数可由正弦函数如何变化得到，再看单调区间等。

（4）在运用类比时，还要求防止类比对象的属性干扰，类比对象之间仅是相似，并不能代替，在学习过程中不能完全沉浸于旧知识的范围内，我们仅作对比过渡，目的是通过已知的东西或知识去开拓新知识。

三、巧用类比法组织教学会产生效果（例举详细的教案）

例如：设集合A＝｛x｜x＋a＝｝，若集合A有2个元素，求实数a的取值范围。

在高三的复习教学中，我发现仍有许多学生解决这个问题时用解方程的方法，最终答对的学生在班级中仅占10%左右。针对这个现象，我在教学实践中采用两个方法进行比较、反思。

方法一：用解方程的思想分析这个问题，同时指出这个问题用方程方法求解时要注意的问题是要让左边x＋a≥0恒成立。这是同学们容易遗忘的关键一步。

方法二：我采取类比方法，层层递进。

第一步让学生解方程：x＝，学生反应非常快，及时解得正确答案。

第二步我马上设置了方程组：y＝x和y＝，请同学们解这个方程组。

这个问题提出后学生大喜，觉得如此简单，回答老师说不就是和上面一样的解吗。我表扬学生的同时让他们思考，解方程组通过转化为一个方程求得，那反之一个方程我们同样能巧妙转为两个方程（组）。学生很快赞同。教学到此我马上接着问第三个问题，从函数图像角度去思考这个问题，y＝x和y＝的图像是什么？请同学在同一个坐标系画出这两个函数的图像，从图像中分析得出交点坐标，回到原题得到方程组的解，推出原方程的解。

从他们最熟练的方程入手进行类比，分析这类问题为什么可以利用数形结合的方法来巧解。

这样分析后，我观察学生非常兴奋，并感叹原来如此奇妙。

在这个问题之后，我又提出：

问题2：（改为不等式）：解不等式（1）＞x－1　（2）x＋a＞

问题3：（绝对值问题）：已知方程｜x²－4x＋3｜＝mx有四解，求m的范围。

通过这样的类比，学生理解了这类问题采用数形结合方法的根源，理解这类知识的内在联系，才能灵活运用，达到触类旁通，取得事半功倍的效果。解决了学生常问的“我为什么想不到这样的好方法呢”的疑问。

我在教学实践中对这类问题继续跟踪效果，很明显，用类比和层层递进的方法讲后，学生在作业中答对的概率达到了95%，经过一段时间后的一次考试中，答对的学生占了90%。这个效果和用简单的直接两边平方解方程的方法是完全不一样的。用两边平方直接法最终我发现还是只有几个拔尖的基础好的学生能解对，在班级中只占20%的比例。

四、运用类比法教学时有哪几种具体方法，需要注意什么？

（1）充分利用课本素材，把类比法自然运用在平常的教学中，沟通新旧知识，深化教学内容。

《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力。”

《标准》将归纳类比等思维能力的培养提到了相当的高度。而不是像以前那样简单地认为数学是为了培养学生的逻辑思维能力。波利亚曾经说过：“在数学发现中，归纳推理与类比推理起着主要作用。”大数学家高斯认为，“发现和创新比命题论证更为重要，因为一旦抓到了真理之后，进行证明往往只是时间问题。”

在高中数学课本中，有许多新的知识可以利用类比法进行教学，既激发了学生的兴趣，又进行了科学思维和科学方法的示范，同时也把“以学生为主体”的教学理念自然贯穿在平常课堂教学中，效果非常好。

例如，高一的三角公式部分，运用类比可由一个余弦公式推出其他公式。三角函数部分，可由正弦函数类比学习余弦函数的相关性质。

高二的立体几何部分，在教学时往往可借助生活当中的一些具体模型进行类比，也可借助平面几何知识的类比。

高二的解析几何部分，分析双曲线的概念和性质时完全可以让学生类比椭圆的相关内容进行自主学习，教师作适当的引导。

（2）在运用类比法教学时要注意方法上的指导，我们不是为了类比而类比，当然运用类比方法教学肯定是帮助学生理解新知识，但它不仅仅为了理解局部新知识，最终的目标是帮助学生自己会用或者是自己会想到类比法，进而会自主学习，培养研究能力。

①例如：在等差数列中｛a_n｝，若a₁₀＝0，则有等式a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋a₂＋…＋a_19－n，（n＜19，n∈N）成立，类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b₉＝1，则有等式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿－成立

这是2000年上海高考数学试题。这道试题是比较典型的运用类比的方法，将已知等差数列的性质拓展到等比数列的性质。

但是考查结果理科与文科考生的得分率分别为0.39，0.23。不少学生不会利用类比的方法思考问题，简单地将元素a换成b，其它都不会变化，甚至有部分考生什么也没写。

这个现象充分说明了我们教师在平常的教学中要加强对类比思想的引导。

②注重方法类比，指导方法学习。

数学教学的目的，不仅要求学生学会一些数学基本知识，更重要的是通过数学教学的过程使学生学会学习方法。因此方法的教学不仅是一种手段，也是教学目的。教学中类比法侧重于从不同数学问题的研究中，对基本的研究方法进行归纳，有目的地、由简而繁地引导学生进行方法学习。

例如对等差数列前n项和公式的证明。课本上采用的是倒序相加的证明方法。学生都会觉得证明构思巧妙，十分精彩。但怎么会想到这个方法呢？如果这一点处理不好，学生对这一方法的印象就不深刻，在运用时也就不能得心应手。其实课本中有一个很好的素材可以解决这一个问题。

上图表示堆放的钢管，自上而下的钢管数排成一个等差数列，那么怎样求这等差数列的前n项和呢？图中堆放的钢管给人一种很强列的梯形的印象。多数学生只注意到各层钢管的数字，而忽略了梯形这一个背景。如果我们将数列的各项放到梯形这一大背景下考虑，求等差数列的前n项和。可类比作求此梯形的面积。那么，自然而然地想到两个梯形拼合成平行四边形求面积的做法（如图－2）。而从结果上看，前n项和公式S_n＝与梯形的面积公式从形式上是一致的。通过以上类比可使学生获得对倒序相加法的感性认识。并对公式的形式有一个深刻的记忆。

图－2

在学习三棱锥的体积公式时，可以向学生展现下面的思维过程：

①明确学习目的，三棱锥是最简单的多面体，因此它的体积公式的推导过程可以与最简单的多边形即三角形的面积公式的推导过程进行类比，从而得到三棱锥的体积公式。

②回顾平面几何中推导三角形面积公式的过程：设三角形ABC的底边＝BC＝a，BC边上的高AD＝h，将三角形ABC补成一个平行四边形BCBA，因为补上的三角形与原三角形等底等高，所以S＝1/2S＝1/2ah。

③类比猜想，三棱锥的体积公式的推导是否也可以类比三角形面积公式的推导，用补的方法进行？

通过以上的教学，学生知道一个三棱柱可以分割成体积相等的三个三棱锥，反之，三棱锥可以补成等底等高的三棱柱，而补上取的两个三棱锥与原三棱锥体积相等，从而有V_三棱锥＝1/3V_三棱柱＝1/3Sh。

设计上面的类比途径，使学生置身于知识形成的过程中，学生在学会知识的同时，也掌握了思维的方法，进一步发展了学生的思维能力。

这样的类比猜想，往往都具有一定的趣味性，能吸引学生。有利于提高学生学习数学的积极性，长期坚持学生就会形成自主探索、研究的习惯。对学生的创新能力的形成有很大帮助。法国数学家兼天文学家拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”另一方面它们也是培养学生发现、创新能力的有力工具。可以说，类比是发明创造的源泉。

在课堂上有意识地培养学生自觉运用类比方法去多角度寻找解题思路，可以深化学生对知识地理解，是有效提高学生思维能力的途径。

（3）明确类比的局限性，培养学生实事求是的科学态度。

类比不是简单机械模仿，类比方法的运用要建立在对基本知识的扎实理解的基础上进一步运用达到深化知识的目的。当然，类比法也存在局限性，这是因为类比的根据是事物之间的同一性，而事物之间有时还存在差异性。这种差异性限制了类比的可靠性。所以有时通过类比的结论不一定正确，但它却教会学生一种探索问题的方法，这也正是目前我们要把学生从“学会”转化为“会学”的一种有益的尝试和手段。因而在教学过程中充分运用类比法培养学生的思维能力，有不可估量的作用。