特邀评述三

特邀评述三

“案例式”专业修炼：

提升中学数学教师专业水平的有效途径

随着数学课程改革的不断深入，数学教师的专业素养与教学观念已明显滞后，各级教育行政部门正积极采取措施，加强对数学教师的培训。在浙江省已大规模推出90学时培训，要求每位在职中学数学教师5年内都要接受90学时的学科培训。然而，受多种因素制约，教师的培训依然存在着众多问题，培训机构难以满足广大中学一线数学教师所期盼的“形式灵活多样、理念与操作层面并举、内容贴近课堂、有助于改进课堂教学行为”的培训。与此同时，在课程改革背景下，中学数学教师在专业发展上能否得到快速成长已引起愈来愈多人的关注。浙江师范大学张维忠教授主编的《基于课程标准的数学教学研究》一书给中学数学教师专业成长提供了丰富的素材，也给中学数学教师专业修炼方式提供了可借鉴的做法。

一、关于中学数学教师的专业修炼

中学数学教师的专业修炼是一个不断学习、不断积累学科专业知识的过程，是一个数学专业素养不断形成与发展的过程，是一个数学教学技能不断形成与提高的过程。它需要数学教师以教学观念的再更新、专业知识的再学习、教学艺术的再提升为载体来磨炼与积淀。当前许多专家学者致力于教师专业成长的研究，也给出诸如案例解剖、反思型教研、课题研究等方式促进教师的自我革新，这里先就案例解剖作一点探讨。

案例，也称为个案、个例，它以丰富的叙事形式，向教师展示了一些包含有教师和学生的典型行为、思想、情感在内的画面。培训者通过对正反两方面案例的呈现与解读，诠释其中的内在联系与问题的本质，使各层次的教师均能受训受益，有的案例可直接模仿，有的案例可汲取其精华，充实于自己的课堂教学。“案例式”修炼虽不系统，但蕴含着教师对教学内容和学生如何学习等更深层次的理解和思考，与传统的专家讲座式的培训相比，这种培训便于教师在实际教学实践中迁移与操作，也越来越受到培训教师的欢迎。实践表明，“案例式”修炼是一个教师群体对课堂教学的系列研究，它有利于实现同伴互助和教学反思，更为重要的是通过课例的分析与研究，能激发教师专业发展的理性自觉，有利于教师实践知识的生成，促进理论与实践的交融，从而提高教师的课堂教学能力，切实提高教师的教学水平。

《基于课程标准的数学教学研究》一书为教师培训提供了丰富的案例，也为教师自我修炼提供了很多精彩纷呈的看点。书中课例均来自广大数学教师的深思熟虑，大多是高校数学教育理论工作者与中学一线数学教师共同在课堂教学实践探索的基础上形成的，是“做”出来的，而不是“写”出来的。这些案例不只是“就事论事”，而是“就事论理”，正所谓“源于课堂，高于课堂”，它既强调实践操作，又凸显了一定的理性思考，是理论与实践结合的一个重要范式。

二、“案例式”专业修炼的中“案例”建构

综上分析，我们不难发现“案例式”专业修炼是教师继续教育中既经济又高效的途径。但其中的“案例”质量将直接影响到培训效果，一个高质量的案例，应具备目的性、启发性、实践性、创新性、代表性和典型性的特点，根据教师专业发展的要求，一个好的案例往往能在转变教师教学观念、完善教师专业知识结构、提高教师教学技能、促进教师理解教材、理解数学、理解学生等方面发挥作用。如何发现、培育一些经典的优秀“案例”，却并非易事。从当前教师成长中迫切需要解决的问题这一角度看，能用于培训数学教师的“案例”，大致可分为“教学观念转变型、专业知识厚实型、教学技能提高型、教学艺术欣赏型、人文素养提升型、说课听课评价型”等，现结合《基于课程标准的数学教学研究》一书中呈现的各类等案例作一简要的评介。

◆数学文化类

书中“非洲文化中的勾股定理”案例体现非洲人民的智慧，丰富了老师对勾股定理的认识，原来勾股定理还可以这样证明，通过几何图形，直观操作的方式来确认勾股定理的真实性，如果教学设计时让学生能够通过上述的背景知识切入勾股定理的学习，不仅可以促使学生感受到数学与人类生活的密切联系，而且可以让学生真正体会到数学的文化价值。“雕塑与数学”案例再现了数学的美妙竟存在于雕塑之中，数学是雕塑设计的清晰语言，雕塑则将数学传播给未来。通过学习，教师了解了雕塑家对皮亚诺曲线、麦比乌斯带等几何知识是那么的熟悉。“大自然的数学情趣”案例给人以惊叹，原来自然界中的“树叶花瓣的个数，蜘蛛网的造型，蜂房的结构，晶体、岩层和珠宝表面，江河溪流的扭转、弯曲、变向，泥地的裂缝，玉米棒的芯，山脉蜿蜒的地势”都与数学息息相关，无怪乎数学是自然的语言。“音乐与数学”案例使教师进一步看到了“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学”，“音乐是心灵的欢乐，而心灵不知不觉地进行着计算。”音乐与比率、周期函数、指数函数、三角级数、常微分方程、偏微分方程等密切相关，其中令人好奇的是开普勒从毕达哥拉斯对弦振动的研究中获得灵感，发现了太阳系各行星的轨道也存在一定整数比例的关系，为了证明毕氏学派关于“天体音乐”的猜想，写出了《宇宙和谐论》一书，这些结论不仅揭示行星运动三定律关联性，而且为牛顿发现万有引力定律铺平了道路。“黄金比例与斐波纳契数列”案例提高了教师对黄金分割的认识，拓展了与斐波纳契数列、牛顿二项展开式、帕斯卡三角形、九宫图等有关知识。通过5个案例的呈现，教师十分清晰地看到数学既是一门科学，也是一种文化，而且是文化中的精华，她既有科学的特性，又有明显的人文属性。长期以来，受应试教育的影响，数学的人文价值被遗弃，数学的理性精神被泯灭，这是一个可怕的现象，作为一名当代数学教师要形成正确的数学观念，多了解一点数学史，努力提高数学文化修养。

◆课堂教学设计类

“直棱柱表面展开图”案例是基于认知负荷理论的一个教学设计，设计过程清晰流畅，是以学定教的一个范例；“一元二次方程概念”案例是基于数学史在数学教学中应用的一个设计，设计视角新颖，可给人以借鉴作用；“函数单调性概念”案例是基于APOS理论的一则教学设计，APOS理论是由美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中提出的，该理论集中于对特定学习内容——数学概念学习过程的研究，提出学生学习数学概念要经过“活动（Action）”、“过程（Process）”、“对象（Object）”、“图式（Scheme）”4个阶段，整个设计环环相扣，循序渐进，符合概念教学的一般规律，有很强的示范性；“倾斜角与斜率”案例是基于数学核心概念的一个教学设计，案例立足双基，注重思维，渗透人文，着力学生发展，在概念的形成过程上教师下足了功夫，强调了知识的生成，突出数形结合，许多教学处理“可圈可点”；“正四棱台体积公式”案例又是一个基于数学史的教学设计，通过学习使教师看到了古人在推导正四棱台体积公式时所采取的办法，令人耳目一新，其蕴涵的思维价值远远大于这个公式本身的实用价值，可培养学生经历数学真理发现与发展的过程，实现正四棱台体积公式推导的再创造。

◆教学艺术提升类

“等腰三角形中的分类问题”案例是一节初中数学复习课，如何上好一堂复习课，是基础知识的简单罗列，还是例题解法的展示？是每位教师必须面对的课题。复习课的作用是帮助学生梳理知识，建构知识体系，本节课教师以“等腰三角形中的分类问题”为主题，以分类思想和方程思想的应用为主线，对等腰三角形的边、角及形状的分类讨论等逐一展开，通过对问题解法的探究、归纳、总结、拓展，让学生归纳出了等腰三角形中分类问题的常见类型，掌握了相应类型问题的解决策略，有效地实现了数学新课程倡导的学生学习方式的转变，具有较强的示范性。“正弦函数、余弦函数的图像”案例是基于学生数学知识建构的一节作图课，是传统作图与信息技术整合的示范课，教师从传统到现代、从多点到五个特征点的作图教学，很好示范了传统经典的作图课在信息技术支撑下的教学方式的变迁；“导数在研究函数中的应用”案例是一节基于学生数学探究的一节复习课。教师从一个学生熟知的问题入手，通过变式教学，层层深入，带领学生，渐入佳境，使学生经历“懂、会、熟、化”的四个学习过程性，给广大教师在复习课中如何开展探究教学做出了很好的示范。

◆专业知识厚实类

作为一名中学数学教师，既要掌握现代数学的基础知识，又要熟练掌握初等数学的知识；既要掌握与教材相关的数学史料，也要了解现代数学发展的趋势。与此同时，不能只知道一点数学知识，还要知道与数学教育密切相关的各门学科的知识。甚至还要懂一点人文、社会科学、艺术等方面的知识。这就要求教师不断充电，做一个终生学习者。“数学说题比赛的过程及其评价标准”案例是浙江省数学青年教师首届技能大赛后，教师对评比过程做出的深入思考。说题比赛是一项全新的活动，在浙江省属于首创，没有先前的做法可参照，这样的比赛在厚实教师专业功底方面有着十分重要的作用。例如比赛题目“已知函数f（x）＝，g（x）＝x³－2a²x＋a³－4，若存在实数a，使得任意给定x₁∈［0，t］，都有x₂∈［0，2］，使得f（x₂）＝g（x₁），求t的最大正实数”是评委专家精心设计的原创试题，对参赛选手数学功底与解题能力具有很高的要求，从而引导数学教师在钻研业务上多下功夫。该案例引导基层学校更好地开展说题活动，给出了一个可操作评价的办法，值得推广与借鉴。

三、“案例式”专业修炼应注意的问题

“案例式”专业修炼的成败取决于“案例”的选取与专家的评点。教师培训时，一方面要根据培训目标努力选取高质量的案例，选取时力求鲜活与真实。另一方面案例呈现时，无论是正面案例，还是反面案例，均有专家或“高人”指点，实事求是地肯定优点，指出不足，切忌众说纷纭，没有定论，以致误导。提供给教师“案例式”专业自主修炼的“案例”应有专家恰如其分的点评。

当前成熟的、优秀的案例还是十分稀缺，要鼓励广大教师积极开发与研制鲜活的案例，并对教师编写的案例进行认真的分析与修改，提炼案例与新课程教学理念的结合点，从而实现理论与实践的有机结合。

张金良

2013年3月10日于杭州

（张金良系中学数学特级教师，全国数学教育研究会常务理事，浙江省中学数学教学研究会副会长兼秘书长，浙江省教育厅教研室数学教研员）