线性黏弹性流体的力学模型

在外力的作用下，理想的弹性体系产生形变，能量被完全储存下来，当外力除去后，能量被释放出来，外力在这种情况下，作用力与形变（即应变）成比例。对于理想黏性体系来说，情况就不同，在外力作用下黏性体系形变，能量全部耗损，其作用力与体系的速率成比例，与形变无关。对于黏弹性流体，需要将体系的弹性和黏性结合起来。

为了描述线性黏弹行为，可以采用一些形象通俗的方法，为此提出了一些黏弹性流体的力学模型。在力学模型中，虎克形变由弹簧（即力与伸长正比的元件）模拟，牛顿流动由黏壶（即力与伸长速率成正比的元件）模拟（见图4-8）。通过基本元件串联或并联可描述更复杂材料的行为。

理想弹簧［图4-8（ ）］的力学性质服从虎克定律，应力和应变与时间无关。

式中，G为弹簧的模量，τ为应变，γ=ΔL/L₀，ΔL弹簧形变，L₀初始长度。

理想黏壶［图4-8（2）］是在容器内装有服从牛顿流体定律的液体，应力和应变与时间有关。

式中，η是液体的黏度，dy/dt是应变速率。

. Kelvin/Voigt模型

Kelvin/Voigt模型是弹簧和黏壶并联的经过［见图4-9（ ）］，由于要求图中水平力拦截线在所有时刻保持平行，因此在所有时刻弹簧上的伸长（应变）等于黏壶中的伸长。从这简单的Kelvin/Voigt模型出发，把单个Kelvin/Voigt元件串联起来，形成广义的Kelvin/Voigt模型［见图4- 0（ ）］。使用这种规范形式的模型可描述黏弹性流体的行为。

如果在t＝0时，突然施加应力τ，随后保持不变，对Kelvin模型容易证明：

（4- 0）式中，t_k代表比值η/G，它具有时间的量纲，并控制着由突加应力τ所引起的应变增长率。图4- 0所示为无量纲组γG/τ随时间变化的示意。γ的平衡值是τ/G，因此γG/τ=l，这也是虎克模型的值。Kelvin模型和虎克模型的区别在于虎克模型“瞬时”到达其应变终值，而Kelvin模型应变是迟缓的，时间常数t_k相应称为“推迟”时间。实际上对于理想的弹性固体，在零时间也不可能有应变增长。由于应力波是以音速传播，因此有滞后作用，使过程推迟。

2. Maxwell模型

Maxwell模型弹簧和黏壶串联的结果如图4-9（2）所示。从简单Maxwell模型出发，把单个Maxwell元件并联起来形成广义Maxwell模型［见图4- 0（2）］，使用这种规范形式的模型亦可描述黏弹性流体的行为。

如果在t＝0时突然施加一定的应变速率γ，并继续随时保持其值不变，对于t>0，可证明：

（4- ）式中，t_M=η/G。这意味着，突然施加剪切后，应力增长推迟，在这种情况下的时间常数是t_M。另一方面，若假设t<0时，应变速率为某一常数值γ，在t=0时突然被移去，在t≥0时可以证明：

（4- 2）式中，速率常数t_M称为弛豫时间。

上述模型适用于变量微小的变化，而适用于黏弹性体系的动态流变特性的振荡剪切模型这里不再介绍。