相关系数的解释与评价

求出相关系数后，要对相关系数进行解释与评价。首先，如果是样本的相关系数r，那么就需要进行相关系数的显著性检验，这是因为在测算两个变量的相关系数时，是从总体中随机抽取一个样本，再用样本的相关系数去推断，因为推断误差的存在，不可能保证百分之百的可靠。也就是说，因为样本是随机抽取的，根据其计算出的相关系数虽然很大，但总体却可能并不具备相关性。那么总体到底有没有线性相关性，在得出结论前，就必须要做假设检验。如果是总体的相关系数ρ则不需要。

（一）相关系数的假设检验

检验样本（相关系数为r）是否会来自于一个无线性关系的总体（总体的相关系数为ρ），可以采用费舍的t检验法。

1.原假设：H0∶ρ＝0，备择假设H1∶ρ≠0。

2.检验统计量为：t＝｜r｜，其中n－2为自由度。

3.若显著性水平为α，查t表的临界值：t（n－2）

4.若｜t｜≥t （n－2），则拒绝原假设，接受备择假设，即认为样本的相关系数显著，可以说明总体两个变量间存在着线性相关，检验通过。若｜t｜＜t（n－2），则结论相反。检验具有显著性后，一般判断如下：

（1）关系数的取值范围在－1和＋1之间，即：－1≤r≤1。

（2）若r为正，则表明两变量为正相关；若r为负，则表明两变量为负相关。

（3）相关系数r的数值越接近于1（－1或＋1），表示相关系数越强；越接近于0，表示相关系数越弱。如果r＝1或－1，则表示两个现象完全直线性相关，即函数关系。如果r＝0，则表示两变量间无线性相关关系，但可能有曲线关系。

（4）判断两变量线性相关密切程度的具体标准为：｜r｜＜0.3，称为微弱相关；0.3≤｜r｜＜0.5，称为低度相关；0.5≤｜r｜＜0.8，称为显著相关，0.8≤｜r｜＜1，称为高度相关。

（二）举例说明

表6-1是10对父子的身高测量结果，问父子的身高之间有什么关系？

表6-1　10对父子的身高测量结果

1.做散点图：考察相关性最简单而直观的办法是散点图。以两条互相垂直的坐标轴分别表示两个变量，n对观察值对应于坐标平面的n个点，便构成一幅散点图（图6-9），大致可以看出呈线性相关。

图6-9　10对父子的身高测量结果呈线性相关

2.假定系独立随机双正态样本，计算相关系数。

3.相关系数的检验假设。

（1）H0：ρ＝0，H1：ρ≠0，α＝0.05

（2）计算检验统计量。

其中，Sr称为样本相关系数r的标准差（也称标准误差）。

（3）确定概率和判断结果：υ＝n－2＝20－2＝18，P＜0.05。说明相关系数不是来自相关系数为零的总体。可认为父子身高之间有直线相关关系。

4.结论：可认为父子身高之间有直线相关关系，且r＝0.9296，呈高度正相关。

（三）注意事项

1.即使相关系数很高，也只是说明这两个变量之间有很强的相关关系，未提到产生这种相关的根本原因。即使是非常高的相关性（接近－1或＋1）并不意味着两变量之间有因果关系。高度相关惟一传达的是一种模式在两者变量之间的关系。

2.两变量之间的关系可以是复杂的多种直接因果关系，即相关≠原因。

3.注意离群点的影响。例如，当研究通过跑步机测试年轻非洲裔美国人的主观体力和心率之间的关系时，样本系数r是0.58，结果为中度相关，表明约1／3的变异主观体力可以归因于不同的心率。当看散点图研究者寻找离群点时，一个异常的数据点在离趋势线很远的地方。重要的是，在小样本中，一个单一的离群点可以大大降低样本系数r。如图6-10的散点图，大部分数据点是非常接近正相关趋势线，除了希望得分为4人，适应得分是1的数据点。

此人的数据是一个离群点，因为它是非常不同的其他分数。样本系数r在这个数据是0.50，这是一个中等相关。然而，当这个离群点被移除后，再分析其他4个分数产生的样本系数r为0.99。

样本系数r计算与离群点的影响很大，因为样本量非常小。尽管如此，如果是较大的研究样本量，离群点也可产生适度影响。

一个离群点可以低估或夸大两变量之间的关系，取决于两个变量价值能否都弥补异常。在一些数据表中，如果将留下离群点可以发现这一趋势将不太清楚，如果将研究人员删除的数据进行分析，删除的数据可能是一个形式的偏倚，尤其是当这项研究是一个小样本时。

图6-10　离群点