立体图形的认识与测量

（一）长方体和正方体的认识

1.长方体

长方体：由六个长方形（也可能有相对的两个是正方形）所围成的六面体，就叫作长方体。长方体一共有六个面，其中相对的两个面的面积相等；有十二条棱（相邻的面的交线），且平行的四条棱的长度相等；有八个顶点（每三条棱相交的点）。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。见图5-68。

图5-68

2.正方体

正方体：一个长、宽、高都相等的长方体，就叫作正方体，也叫作立方体。正方体的六个面都是正方形，且它的六个面的面积都相等。正方体的十二条棱的长度都相等。正方体是特殊的长方体。见图5-69。

图5-69

3.长方体与正方体的关系[见表（5-2）]

表（5-2）

4.长方体的表面积

长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2

设长方体的长为a，宽为b，高为h，表面积为S，那么长方体表面积的字母公式为

S=2×（ab+ah+bh）

长方体六个面的总面积，叫作长方体的表面积。

例：已知一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、5厘米、8厘米，求它的表面积。

解：根据S=2×（ab+ah+bh）可得：（4×5+5×8+4×8）×2=184（平方厘米）

答：表面积为184平方厘米。

5.长方体的体积

长方体的体积=长×宽×高

=底面积×高

设长方体的长为a，宽为b，高为h，底面积为S，体积为V，那么长方体的体积的字母公式为

V=abh=Sh

例：一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、5厘米、8厘米，求它的体积。

解：V=abh=4×5×8=160（立方厘米）

答：体积为160立方厘米。

6.长方体的棱长

因为长方体相对的棱的长度都相等，所以长方体的棱长之和=（长+宽+高）×4

7.长方体、正方体的计算

例1：京京过生日时收到了6个相同的长方体礼品盒，已知礼品盒长18厘米，宽8厘米，高3厘米，现在京京想把这6个礼品盒子包装成一个长方体，怎样包装最省包装纸呢？若重叠处忽略不计，请计算包装纸的面积。

分析：包装纸的面积就是拼出的长方体的表面积，为了省包装纸就尽可能地使拼出的长方体的表面积最小。

解：包装纸面积：

（18×16+9×16×18×9）×2=1188（平方厘米）

答：至少需1188平方厘米包装纸。

例2：如图5-70所示，一个长方体的玻璃鱼缸，从里面量，底面长8分米，宽6分米。如果向这个鱼缸中注水，使鱼缸中的水所形成的长方体第二次出现一组相对的面是正方形时，水的体积是多少立方分米？

分析：往玻璃鱼缸里倒水，鱼缸里的水是从无到有，从少到多。由于底面长8分米，宽6分米，当流入的水深从0上升到6分米时，第一次出现了一组相对的面是正方形，正方形边长6分米。水继续流入，流面由6分米上升至8分米时，第二次出现了一组相对的面是正方形，正方形边长8分米，这时水的体积就是一个长8分米，宽6分米，高8分米的长方体。

图5-70

解：8×6×8=384（立方分米）

答：水的体积是384立方分米。

例3：魔术师需要定制一个长方体铁皮工具箱，并且要求箱子长45厘米，宽30厘米，高20厘米。求做这个工具箱至少要用铁皮多少平方厘米？

分析：要求“做这个工具箱至少要用铁皮多少平方厘米”，就是求这个长方体的表面积。

解：（45×30+30×20+20×45）×2

=（1350+600+900）×2

=5700（平方厘米）

答：做这个工具箱至少要用铁皮5700平方厘米。

例4：一个长方体木箱里有深度为10厘米的水，从里面量，它的长是40厘米，宽是30厘米。如果把一块石头浸没在水中，水的高度是16厘米。求这块石头的体积是多少？

分析：这块石头的体积就是这个木箱中水位升高部分的体积。

（1）水位上升了多少厘米？

解：16-10=6（厘米）

（2）石头的体积是多少立方厘米？

解：40×30×6=7200（立方厘米）

答：石头的体积是7200立方厘米。

例5：已知一个长方体的棱长之和是96厘米，长、宽、高的比是3:4：5，求这个长方体的表面积和体积各是多少？

分析：长方体的长、宽、高各有4条，用棱长总和除以4，就可求出（长+宽+高）的和，再按比例分配求出长、宽、高各为多少。

表面积：（6×8+6×10+8×10）×2=376（平方厘米）

体积：6×8×10=480（立方厘米）

答：长方体的表面积是376平方厘米，体积是480立方厘米。

例6：一个长方体的表面积是280平方厘米，芳芳的爸爸把它锯成了三个完全一样的正方体用来做实验模型，这样表面积比原来增加（）平方厘米。

分析：如图5-71所示，把一个长方体锯成三个完全一样的正方体，表面积增加了4个小正方形的面积，把长方体侧面正方形的面积看成1份，则长方体前面的面积是3份，上面的面积是3份，则表面积是（3+3+1）×2=14（份），每一个小正方形的面积是280÷14=20（平方厘米），所以锯完以后表面积就会比原来增加了20×4=80（平方厘米）。列式计算可得：（3+3+1）×2=14（份），280÷14×4=80（平方厘米）。

注：把一个长方体锯成三个正方体，一共需要锯两次，每锯一次表面积增加两个小正方形的面积，两次增加4个小正方形的面积。

图5-71

例7：一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，变成为一个正方体，已知表面积减少了120平方厘米。求原来长方体的体积是多少立方厘米？

分析：本题是考查空间想象能力和推理能力。在分别截去高为3厘米、2厘米的长方体的过程中。减少的表面积其实就是侧面的面积，通过此条件可以求出正方体的棱长，而正方体的棱长同时也是长方体底面的边长。

解：正方体棱长：

120÷（3+2）=24（厘米）

24÷4=6（厘米）

原长方体体积：

6×6×（6+3+2）=396（立方厘米）。

答：原长方体的体积为396立方厘米。

例8：图5-72的立体图形均是由棱长为1厘米的正方体堆砌而成，求这个物体的表面积和体积各是多少？

图5-72

分析：求这个物体的体积，只要求出一共有多少块小立方体就可以了，从上到下一层一层来看，第一层1块，第二层1+2=3（块），第三层3+3=6（块），第四层6+4=10（块），所以一共有小正方体20块。

体积：13×20=20（立方厘米）.

求它的表面积，其相对的面的面积是相等的，可以画图辅助解题，如图5-73所示：

图5-73

表面积：12×（1+2+3+4）×6=60（平方厘米）

答：表面积为60平方厘米，体积为20立方厘米。

例9：把8个完全相同的小正方体模型拼成一个大正方体。已知每个小正方体模型的表面积是54平方厘米，求大正方体的表面积是多少平方厘米？

分析：每个小正方体的表面积是54平方厘米，所以，小正方体的每个面的面积是54÷6=9（平方厘米）。而大正方体的每个面的面积是小正方体每个面面积的4倍，由此可求得大正方体每个面的面积，从而求得大正方体的表面积。

解：（1）小正方体每个面的面积：54÷6=9（平方厘米）

（2）大正方体的表面积：9×4=36（平方厘米）

（3）大正方体的表面积：36×6=216（平方厘米）

综合算式：

54÷6×4×6=216（平方厘米）

答：大正方体的表面积是216平方厘米。

例10：有一个底面是正方形的长方体，如果把它的高减少5厘米就成了正方体，同时表面积比原来减少了240平方厘米，求这个正方体的体积是多少立方厘米？

分析：如图5-74所示，这个长方体是一个特殊的长方体，它的上面和下面是相同的正方形，前、后、左、右四个面完全相同。根据“把它的高减少了5厘米就成了正方体，表面积比原来减少了240平方厘米”可知减少的表面积是长方体的4个侧面长方形的面积，并且这四个长方形完全一样，宽都是5厘米，长都是正方体的棱长。则每个长方形的面积是240÷4=60（平方厘米），长是60÷5=12（厘米），正方体的体积是12×12×12=1728（立方厘米）。

图5-74

答：正方体的体积是1728立方厘米。

注：解决此类题型的关键是要根据底面是正方形推知减少的长方体的四个长方形的面积完全相等。

例11：如图5-75所示，在棱长为3厘米的正方体正中由上到下、由左到右、由前到后有三个长为1厘米、宽为1厘米，高为3厘米的长方体的洞，求该物体的体积。

分析：这道题中给出的几何体相对来说比较复杂，按照分割思维，可以将不规则的图形分割成若干个我们学过的规则的图形求解。要求的物体体积等于大正方形的体积减去三个小长方体的体积，再加回中间的重复减去两次的体积。另外，对这道题的求解，需要有较强的空间想象能力，尤其是三个小长方体在正方体中间交叉的部分（交叉部分是一个小正方体），首先必须在大脑中将这个形体大概勾画出来。

图5-75

解：大正方体体积：3×3×3=27（立方厘米）

小长方体的体积：3×1×1=3（立方厘米）

三个小长方体在正方体中央交叉的体积：1×1×1=1（立方厘米）

所求物体体积：27-3-3-3+1+1=20（立方厘米）

答：所求物体的体积是20立方厘米。

例12：图5-76中，三个图形都是用棱长1厘米的小正方体拼成的，求它们的体积各是多少立方厘米？

图5-76

分析：由于小正方体的棱长为1厘米，所以每1个正方体的体积就是1立方厘米，只要数出每个物体所含的小立方体的个数就可以得出拼成组图的体积。

解：第一个图中含有6个立方体，所以它的体积是6立方厘米。第二个图形中含有8个立方体，所以它的体积是8立方厘米。第三个图中含有9个立方体，所以它的体积是9立方厘米

（二）圆柱和圆锥的认识

1.圆柱

（1）圆柱的定义

以长方形的一条边所在的直线为轴，将它旋转360°之后所得到的几何体，就叫作直圆柱，简称为圆柱。如下左图就是一个圆柱（直圆柱）。在日常生活中觉的汽油桶、易拉罐等，都属于圆柱形的物体（见图5-77）。

图5-77

（2）圆柱的特征

圆柱上、下两个面是相等的圆，它们都叫作圆柱的底面；弧形的部分叫作圆柱的侧面；两个底面之间的距离，叫作圆柱的高（如上右图）。圆柱的侧面沿一条高展开后可以得到一个长方形，这个长方形的长相当于圆柱的底面的周长，它的宽相当于圆柱的高（见图5-78）。

图5-78

（3）圆柱的侧面积

圆柱侧面沿着一条高展开后得到一个长方形，这个长方形的面积就是圆柱的侧面积。见图5-79。

图5-79

圆柱的侧面积=底面的周长×高。

S侧=Ch=2πrh（r为圆柱底面的半径）。

（4）圆柱的表面积

圆柱的侧面积与两个底面面积之和，就叫作圆柱的表面积。

S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2。

例：圆柱的高是4分米，底面半径是5分米，分别求它的侧面积和表面积。

解：S侧=2×3.14×5×4

=125.6（平方分米）

S表=2×3.14×5×4+2×3.14×5。

=125.6+157

=282.6（平方分米）

（5）圆柱的体积

圆柱的体积=底面积×高

如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，r表示底面半径，h表示高，则圆柱体积的字母公式是V=Sh=πr2/h.

例：一个圆柱形的铁桶的侧面积是1256厘米2，底面直径是20平方厘米，求这个圆柱形铁桶的容积是多少立方厘米？

分析：转化为求圆柱体积，根据圆柱的底面直径可以求出圆柱的底面周长，根据底面周长和侧面积可以求出圆柱的高，进而求出圆柱的体积。

圆柱的高：1256÷（3.14×20）=20（厘米）

圆柱的底面积：3.14×（20/2）2=314（平方厘米）

所以由此得出：圆柱形铁桶的容积为：314×20=6280（立方厘米）

2.圆锥

（1）圆锥定义

以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕此轴旋转360°之后得到的几何体，就叫作圆锥体。

（2）圆锥体的性质

①圆锥体的底面是一个圆，它所在的平面垂直于圆锥体的轴。

②圆锥体的轴经过顶点和底面的圆心，底面圆心和顶点的连线是圆锥体的高。

③圆锥体的一切母线都交于圆锥体的顶点，并且都相等，各条母线与轴的夹角都相等。

④垂直于轴的圆锥体的截面是个圆。

图5-80

如图5-80所示，把圆锥体看成直角三角形AOB绕直角边AO旋转一周后形成的旋转体，AO叫作圆锥体的轴。由另一直角边BO旋转而成的圆面，叫作圆锥体的底面。由斜边AB旋转而成的曲面，叫作圆锥体的侧面。斜边AB无论旋转到任何位置，都叫作圆锥体的母线。母线的交点A叫作圆锥体的顶点。从圆锥体的顶点到圆锥体底面的距离AO，叫作圆锥体的高。

（3）圆锥的表面积

把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开以后，可以平铺展开成一个平面，展开的平面图形是一个扇形（图5-81），此时扇形的弧长等于圆锥底面的周长C，半径等于圆锥的母线长l,S侧=1/2Cl=πrl。

圆锥的侧面和底面积的和就是圆锥的表面积：

S表=πr2+πrl=πr（r+l）

图5-81

（4）圆锥的体积

可通过简单的实验演示证明圆锥的体积与圆柱体积存在着倍比的关系，从而可以推导出圆锥体积公式。整个演示过程：用一个圆锥形容器盛满沙（或水），倒入一个与它等底等高的圆柱形容器内，一共倒三次之后正好把圆柱形容器装满。

由此证明，完全等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的1/3，即圆锥体积=1/3×底面积×高。如果用S来表示圆锥的底面积，用h表示圆锥的高，用V表示圆锥的体积，那么圆锥体积的字母公式是：V=1/3Sh。

3.圆柱、圆锥的计算

例1：一张长方形纸片，长12.56分米，宽5分米。用这张纸片卷成一个圆柱形纸桶的侧面，另配一个底面制成一个最大的纸桶。求做这个纸桶共用去多少纸？纸桶最大容积是多少？（接头处及纸片的厚度忽略不计）

分析：这是立体图形知识在日常生活中的基本应用。用长方形纸片卷成圆筒，分为两种卷法，哪一种卷法容积最大呢？用a、b分别表示长方形的长和宽。

由此看来，要使纸桶容积最大，就应使其底面半径尽可能大，即第一种：比较长的边围成圆柱的底面周长。

以5分米做高，12.56分米做底面周长。r=12.56÷3.14÷2=2（分米）

解：12.56×5+3.14×2/2=75.36（平方分米）

3.14×2/2×5=62.8（升）

答：做这个纸桶共用去75.36平方分米纸片，最大容积是62.8升。

图5-82

例2：如图5-82是一块长方形塑料皮，利用图中阴影部分，刚好能做成一个塑料水桶（接头处忽略不计），求这个塑料水桶的表面积。

分析：由题意可知阴影部分的长方形是圆柱形塑料水桶的侧面积，长就是圆柱的底面周长，宽就是圆柱的高，底面直径+底面周长=16.56分米，即底面直径+底面直径×3.14=16.56分米，所以底面直径是：16.56÷（1+3.14）=4（分米）。

高是两条直径的和，所以高是：4×2=8（分米）。

塑料水桶的表面积=侧面积+两个底面积，所以塑料水桶的表面积是：4×3.14x8十3.14×（4÷2）2×2=125.6（平方分米）。

答：水桶的表面积为125.6平方分米。

例3：一个底面周长和高相等的圆柱体，如果高缩短1厘米，它的表面积减少6.28平方厘米，求这个圆柱的体积。（得数保留两位小数）

分析：从“如果高缩短1厘米，它的表面积减少6.28平方厘米”可以看出，表面积减少的是圆柱侧面积的一部分，将其展开后得到的是一个面积6.28平方厘米、宽1厘米的长方形，同时，根据所学知识可知，用面积除以宽可得底即周长，有了周长就可以分别求底面半径和高。

解：圆柱底面周长：

6.28÷1=6.28（厘米）

圆柱底面半径：

6.28÷3.14÷2=1（厘米）

圆柱体积：

3.14×1/2×6.28=19.7192≈19.72（立方厘米）

答：圆柱的体积约是19.72立方厘米。

例4：有一个圆锥形沙堆，已知它的底面周长是12.56米，高是1.5米，求这堆沙的体积。

解：圆锥形沙堆的底面半径：12.56÷3.14÷2=2（米）

圆锥形沙堆的底面积：3.14×2/2=12.56（平方米）

圆锥形沙堆的体积：V=1/3Sh=1/3×12.56×1.5=6.28（立方米）

答：沙的体积为6.28立方米。

例5：已知一个纸制圆锥的底面周长是18.84分米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两部分以后，表面积之和比原圆锥体的表面积增加了24平方分米。求原圆锥的体积是多少立方分米？

分析：从题中条件可知“表面积增加了24平方分米，”其实是增加了2个三角形的面积，三角形的底是圆锥的底面圆的直径，高是圆锥的高。通过“底面周长”可以直接求得底面直径，即三角形的底；通过“增加24平方分米”可以求出三角形的高，也就是要求的圆锥的高。

解：（1）求圆的底面直径（即三角形的底）：

18.84÷3.14=6分米

（2）求三角形的高（即圆锥的高）：

24÷2×2÷6=4分米

（3）求圆锥的体积：

3.14×（6÷2）2×4×1=37.68（立方分米）3

答：原圆锥的体积是37.68立方分米。

例6：如果要把一个底面直径为10厘米、高12厘米的圆柱体木块削成一个体积最大的圆锥体，请计算体积比原来减少了多少立方厘米？

分析：由题意可知，问题要求的是削去木块的体积，即用圆柱体的体积减去圆锥体的体积。

解：3.14×（10÷2）2×12-3.14×（10÷2）2×12×1/3=628（立方厘米）。

答：圆锥体积比圆柱少628立方厘米。

例7：一段圆柱体的特定材料，如果把它横截成两段，它的表面积增加628平方厘米；如果沿着直径将其劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加800平方厘米，求原来圆柱体材料的表面积是多少平方厘米？

分析：圆柱表面积等于侧面积加2个底面积，将圆柱横截成两段后，增加628平方厘米就是2个底面积。

沿直径劈成两半增加800平方厘米就等于（直径×高×2），而圆柱侧面积=直径×π×高，由此可求得圆柱的侧面积。

解：（1）圆柱的侧面积：800÷2×3.14=1256（平方厘米）

（2）圆柱的表面积：1256+628=1884（平方厘米）

答：原来圆柱体的表面积是1884平方厘米。

例8：把一个棱长为8厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的侧面积、底面积和表面积各是多少？

分析：正方体的棱长就是圆柱体的底面直径，也是圆柱体的高。知道圆柱体的底面直径和高，就可以求出圆柱体的侧面积、底面积和表面积。

解：侧面积：8×3.14×8=200.96（平方厘米）

底面积：（8÷2）2×3.14=50.24（平方厘米）

表面积：200.96+50.24×2=301.44（平方厘米）

答：这个圆柱体的侧面积是200.96平方厘米，底面积是50.24平方厘米，表面积是301.44平方厘米。

例9：一个圆柱形油桶（没盖），已测量出它的底面周长是18.84分米，高是0.8米，做一个这样的油桶至少要用材料多少平方米？（得数保留整数）

分析：计算这个没有盖的油桶的用料，就是求圆柱的侧面积和一个底面面积的和。

解：（1）油桶底面的半径：18.84÷3.14÷2=3（分米）

（2）侧面积：0.8米=8分米

18.84×8=150.72（平方分米）

（3）底面积：3/2×3.14=28.26（平方分米）

（4）要用材料：150.72+28.26=178.98（平方分米）≈2平方米

答：至少要用材料2平方米。

例10：一个圆柱体的高是37.68厘米，把它的侧面展开后恰好是一个正方形，求这个圆柱体的体积是多少立方厘米？（结果保留整数）

分析：“它的侧面展开后恰好是正方形”，通过这个条件可以推断出圆柱的高就是正方形的边长，也是圆柱的底面周长，根据这条已知条件，就容易利用公式来求圆柱体的体积。

解：（1）半径：37.68÷3.14÷2=6（厘米）

（2）体积：3.14×6×6×37.68=4259.3472≈4259（立方厘米）

答：这个圆柱体的体积是4259平方厘米。

例11：一个底面半径是10厘米的圆柱形鱼缸中装有水，但是没有鱼，如果将一个底面半径为6厘米的圆锥形铁块放入水槽中完全淹没，水面升高了6厘米。求这个铁块高是多少厘米？

分析：铁块的体积就是它浸入水中排开的水的体积，也就是水面升高6厘米所形成的一个圆柱形水柱的体积。水柱的高是6厘米，底面积与鱼缸的底面积相等。求出铁块体积，可以利用公式计算铁块的高。

解：设铁块的高是h厘米。

答：这块铁的高是50厘米。