基于自学与操作

陈庆宪

◎课前思考

人教版义务教育教材四年级下册第五单元编排的“三角形”是对三角形的进一步认识，在这一单元里包括认识三角形的高和画三角形的高、认识三角形的稳定性、三角形的三边关系、三角形的分类、三角形的内角和等知识。本课是本单元的第一课时，除了进一步认识三角形外，重点认识三角形的高和掌握画高的技能。由于学生已认识了平行四边形的高及掌握了画高，所以认识三角形的高并不困难，难就难在能熟练地掌握画三角形不同边上的高，以及通过本课的学习进一步培养学生的空间想象能力。在教学方式上，虽然本课重于技能的操作，但也不能单纯地去传授画高的技能。那如何发挥学生在自己阅读文本的基础上，尝试画高；如何创设动态素材，让学生自己去感悟到随着三角形的变化，它的高也随之变化，从而认识到直角三角形的直角边上的高；并如何在动态变化中去认识钝角三角形的钝角边上的高。带着这些问题的思考，我对本课做了如下的教学尝试。

◎实录与评析

1.了解认知，引发自学。

揭示课题，并提出：对于三角形你都知道了它的哪些知识？

生：三角形有三个角、三个顶点、三条边。（教师板书）

师：今天我们要进一步认识三角形，并要重点认识三角形的高和画三角形的高。你们希望老师告诉你们这些知识，还是自学呢？

生：我们自学。

师：好的！我相信同学们。请大家按以下学习要求进行自学。（投影出示以下学习要求）

①仔细阅读课本第60页，怎样的图形叫三角形？什么叫三角形的高？

（在书上用线画出来）

②请你在纸上画一个三角形，试一试能画出它的一条高吗？

学生独立自学并尝试画三角形的高。

【思考】　学生在此之前对三角形有过初步的认识，对三角形并不陌生，所以我采用先让学生回忆三角形的相关知识，再去读懂怎样的图形叫三角形，什么叫三角形的高。特别对于三角形高的定义的理解，需要学生静下心来去细读与思考。先让学生读懂，再让学生画出三角形的高。

2.组织交流，掌握新知。

图1

（1）交流怎样的图形叫三角形。

师：通过自学,你们能说出怎样的图形是三角形吗？（学生纷纷举手）

师：你们对三角形已有了一些认识，下面我们先来观察下图（如图1），指出哪几个图形不是三角形，再来说说怎样的图形是三角形？

生：图中第二行的三个图形都不是三角形。

师：为什么？

生1：因为第二行的第一个图形有一条边弯了，所以它不是三角形。

生2：第二行的第二个图形有的边画出头了，还有两条边没有接住。

生3：第二行的第三个图形有一个角不尖。

师：这是不是角？（教师指着第二行最后一个图形中不尖的角问学生）

生：这不是角。

师：那怎样的图形才算是三角形呢？

教师根据学生的回答揭示出：三角形是由三条线段围成的图形。（每相邻两条线段的端点相连）

接着教师指着画在黑板上的两个三角形（如图2）， 引导学生说一说这两个三角形的各部分名称，找一找每个顶点和它的对边。

图2

【思考】　由于学生对怎样的图形是三角形有着一定的认知基础，所以在这一环节没有让学生去画三角形，而是直接呈现预先画好的六个图形，只要学生能说出不是三角形的原因就可以了。这样做的目的是为了节省非重点部分的教学时间。让学生针对图2找一找顶点与对边，是为高的认识和画高做准备。

（2）交流什么叫三角形的高，怎样画三角形的高。

先让学生汇报，教师在黑板上揭示三角形高的定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。这条对边叫三角形的底。

师：请同学根据三角形高的定义，在小组里互相检查一下，你们自己画的三角形一边上的高是否正确。

学生互相交流检查着，教师在巡视中找几位学生所画的三角形的高，逐一放在投影上，让学生带上直角三角板进行检查评析。

师：谁能画出黑板上三角形一条底上的高？

（让一位女生上来画，可能是由于初次接触画高，该生拿着三角板带直角的一边对准顶点时而另一边却偏离了三角形的底，但当一边对准三角形的底时另一边又偏离了顶点……）

师：谁愿意上来帮助她呢？

在另一个学生的帮助下终于画成了高，并标出了“高”“底”“垂足”的位置（如图3）。

教师先问第一位学生：刚才你一个人在画高时碰到了什么困难？（这位学生说了“点对边”“边对边”的不容易）

师：你们能告诉大家自己是怎样画高的吗？

图3

学生拿着三角板边演示边说。

接着，教师又选了一位学生所画的三角形的高，把它放在投影上进行旋转（如图4），每旋转一次，都引发学生质疑所画的这条线是否还是三角形BC边上的高？为什么？

图4

（使学生再次针对三角形高的定义，说明还是三角形的高的道理）

师：通过刚才的观察，从三角形另外两个顶点出发，还可以画出三角形的几条高？（学生说出了从每一个顶点向对边作垂线，这样一个三角形有三条高）

继续让学生在自己所画的三角形上，从另外两个顶点，分别向它的对边作垂线，画出这个三角形的另外两条高。

【思考】　本环节是本课的教学重点，我先利用实物投影检验学生画出的高，从中检测学生自学的效果。接着指定学生在黑板上演示画高，这位学生一时把握不准教具（三角板）的操作。我没有主动去帮她，而是让学生继续观察，接着让一位同学帮助他完成画高，画好后又让这位同学谈谈刚才画高的体会。我特意创设这样的等待，全班学生都在观察中领悟了画高的要领。接着，我再利用实物投影，将学生的作品旋转到不同的方位，使学生认识到三角形高的本质，明白高与它的方向无关，进而认识到三角形的高有三条。

3.组织练习，提高认识。

（1）通过一组为三角形画高的练习，来引发学生的动态想象。

先让学生画出图5四个三角形指定底上的高。

图5

再呈现学生的作品，并提出：你们在画高的过程中感受到了什么？

生：好像三角形的高在向右移动。

师：是吗？大家再观察一下，最后一个三角形是什么三角形？

生：最后一个三角形是直角三角形。

师：那它这条底就是一条直角边了，这条直角边上的高在哪里呢？

学生说出了“这条高和另一条直角边重叠了”。

图6

接着教师借助电脑动态演示出图6，三角形的一个顶点沿着平行于BC这条底边做左右移动，变换出无数个三角形，同时这条底上的高也随之移动。移动成直角三角形时，学生直观地观察到高与直角边重叠，当移动成钝角三角形时，这条高与底边的延长线垂直。

【思考】　以上教学我先给学生创设一组等底、等高的四个三角形，虽然这四个三角形是相对静止的，但放在一起逐一画高，学生的感受就不一样了。学生在画的过程中，会感觉三角形的高，随着顶点向右移动而向右移动。同时把直角三角形巧妙地设计在最后，这样使学生在动态的想象中去认识直角三角形直角边上的高。再接着我借助于投影的演示，进一步促使学生动态想象，使学生直观地认识到钝角三角形的高。

（2）通过动态观察高的变化，引发对三角形的想象。

第一步，继续利用投影动态演示图7中的第一个图，让学生去想象三角形的一个顶点做上下、左右移动时形成的无数个三角形，而且这些三角形底上的高随着顶点的移动，它的位置和长度发生了怎样的变化。

第二步，在图7第一个图上先呈现一个顶点，再呈现一条垂线如图7的第二个图，并指出：如果这是一个三角形的一条高，你能想象出这个三角形吗？（让学生表述）

第三步，把第二个图去掉其他三角形的背景呈现图7中第三个图，又提出：如果是这样，你还能想象到原来的三角形吗？能想象到多少个？这些想象到的三角形与这条高对应的底在什么位置？（让学生说一说与这条高对应的底在原来底的这条虚线上）

第四步，投影上再去掉表示原来底的这条虚线如图7的第四个图（只有一条高），又向学生提出：现在看到的是三角形的一条高，你还能想象出原来的三角形吗？请你按这条高重新画出你所想象到的一个三角形。

图7

老师预先发给每位学生已画好如图7的第四个图的纸片，让学生利用这条高去画自己想象到的三角形。

当然这样的三角形也有无数多个，学生画的各有不同。当大部分学生都画出后，教师展示学生所画的三角形，组织交流评价。

【思考】　这一环节的教学充分利用课件的连续动态变化，对三角形一个顶点上、下、左、右移动，引导学生观察、想象三角形的高的长度、位置的变化。再从指定的一条高去想象与这条高对应的底的长度、位置的变化，在脑中重新构建出三角形，再把想象到的三角形画出。这样的训练培训了学生的空间想象力，也加深了他们对三角形高的认识。

（3）再次画高，激发学习兴趣。

师：以上我们画了许多垂直水平方向的三角形的高，下面请同学以最快的速度画出图8中的三个三角形所指定底上的高。

图8

学生画后，再组织反馈评价。

接着又针对图中的第一个三角形，要求学生画出另外两条边上的高。

当学生画好后，再提出：你们有没有发现，这个三角形的三条高刚好交于一点？

这时大部分学生惊讶地发现确实交于一点，教师又提出：是否任意一个三角形的三条高都能交于一点呢？

当学生迟疑时，教师再利用投影逐一演示出直角三角形的三条高交在直角顶点上，而钝角三角形的三条高延长后交在三角形的外面。（如图9）

图9

师：下课后你们还可以继续画一些三角形，再去试试，是否所有三角形的三条高都可以交于一点？（这时学生兴趣盎然）

【思考】　以上教学特意向学生介绍了“一个三角形的三条高交于一点，钝角三角形的三条高延长后交于三角形外的一点”的知识，其目的是使学生的感受到数学的奥秘，激发学生的学习兴趣和动手画高的积极性。

纵观全课教学着重体现以下两点：

1.基于自学与操作。《标准》在基本理念中提到：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。数学教学活动，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。因此，我针对本课的内容特点，采用了以自学和尝试操作相结合的方式组织学生学习。对于怎样的图形是三角形，学生已有了直观的感知，再通过阅读和集体交流，能很快将直观的感知上升到理性的认识。对于高的认识，学生在本课之前已认识了平行四边形的高和画高。所以我们采用让学生先阅读文本，再去尝试画高。在实际教学中，我们可以感受到这样的学习效率更高了。

2.重在技能与想象。三角形高的定义是一种发生式的定义，它是这样定义的，从一个顶点向对边作垂线而产生的顶点到垂足之间的这条线段叫这个三角形的高。这种定义与操作直接相关，也就是要理解高的定义一定要通过操作。所以在以上教学中我们竭力去引导学生经历尝试画高、交流评价画高、组图画高，以及从一条高重新想象画出三角形等操作活动，实实在在地把技能落到实处。本课除了画高技能的掌握外，还需要借此内容进一步培养学生的空间想象力。所以在教学中我们还特意创设含有动态性的题组和动态的投影演示，使学生在多次动态想象中加深了对三角形高的认识。