二分法悖论

第二个芝诺悖论否定运动状态本身的真实性，是阿基里斯悖论同一主题的变形。它的叙述很简单：

在到达目的地之前，你必须先走完一半的路程。在走完一半路程之前，你必须先走完四分之一。在走完四分之一路程之前，你必须先走完八分之一路程，以此类推。如果将路程一直减半，你永远抵达不了第一个里程碑，你的旅程永远无法开始。此外，这个不断递减的距离数列是无穷的，要完成整个旅程意味着要完成无限多个步骤，因此你永远无法走完它。如果你无法开始一段旅程，又无论如何无法完成它，那么运动本身即不可能发生。

我们透过亚里士多德得知这个悖论。他知道这是无稽之谈，想找出有效的逻辑论点来给予致命一击，毕竟运动是一种显而易见的状态。芝诺用了一种称为“归谬法”的技巧，将某种想法加以延伸再延伸，直到得出逻辑上的离谱结论。我们要记得，芝诺并不是数学家；他的论点仅透过单纯的逻辑，可这么做往往是不够的。其他希腊哲学家则透过较为直接而务实的方法来反驳芝诺指称运动是假象的论点。其中之一便是犬儒学者第欧根尼。

“愤世嫉俗”一词（cynicism，大写时译为犬儒主义）来自于古希腊时期的唯心哲学运动。相较于这个名词当今的意涵，希腊犬儒学派（the Cynics）是由一群素行较为良好的学者组成：他们反对财富、权势、名声、甚至财产，改以一种远离人性罪恶的简单方式来生活。他们相信人生而平等，而且世界平等地属于每个人。最著名的犬儒学派哲学家也许就是第欧根尼，他活跃于公元前4世纪，约与柏拉图同时期。许多著名的格言出自于他，例如“脸红是美德的颜色”、“狗与哲学家做出最多善行，但却得到最少回报”、“知足者最富有”、“我只知道一件事，就是我一无所知”。

第欧根尼将犬儒主义的教诲发挥到极致。他似乎将贫穷当成一种美德，在雅典市集中的一个木桶里居住多年。他以对世间的一切嗤之以鼻而闻名，尤其对于当时大部分的哲学教条，即便是来自苏格拉底或柏拉图这些鼎鼎大名的哲学家亦然。因此，读者可以想见他对于芝诺悖论的观感。在听到芝诺关于运动是假象的二分法悖论当下，他只是一派轻松地站起来走开，以行动直接证明芝诺论点的荒谬性。

尽管第欧根尼直截了当的作法值得喝采，我们仍需仔细研究一下芝诺的逻辑究竟哪里出了差错。这其实不难，毕竟有2000多年的时间供我们厘清。也许读者觉得光靠常识就足以解开芝诺悖论，但我并不这么认为。我毕生大半岁月身为物理学家，特别是一直以来用物理学家的思维方式思考，对于仅仅依赖常识性、哲学性、或逻辑性的论证来反驳二分法悖论并不满足。我需要的是严谨的物理，这对我来说更具说服力。我们所要做的，就是将芝诺关于距离的论点转换成时间。假设你通过出发点时已经以等速往前移动一段时间。速率的意义乃是某段有限的时间里移动某个距离，这是芝诺所不明白的。在等速的情况下，移动的距离愈短，所需的时间也愈短，然而两者相除的结果必然固定不变，也就是你的速率。出发后，需考虑的行经路程愈来愈短，相对应的时间间隔也愈来愈短。不过不论被分割成多么细小的间隔，时间必然继续前进。将时间（而非空间）当成一条可以无限分割的静止线段并没有错（而且我们解物理问题时，也经常用这种方式来处理时间），但关键在于，我们对于时间的知觉感受与空间中的静止线段不同。我们无法将自己抽离到时间洪流之外。时间无论如何会继续前进，也因此我们会往前移动。

如果我们不是从移动中的观点来考虑这种情况，而是从静止开始移动的话，只需要运用多一点额外的物理就足够了，也就是以前中学教过的牛顿第二定律。（大多数人肯定很快就忘了。）这个定律指出，为了要让一个物体开始移动，必须在该物体上施力。力使物体产生加速度，使物体从静止进入运动状态。当它进入运动状态之后，就适用相同的论证：也就是说，经过一段时间之后，物体的移动距离乃是根据它的移动速率而定，而这种情况下的速率不一定是固定的。二分法悖论只是一个未能反映真实物理运动现象的不当抽象陈述罢了。

在进入下一个悖论之前，我应该要做最后的批注。爱因斯坦的相对论告诉我们，也许我们不该自信满满地否定二分法悖论。根据爱因斯坦的理论，时间可以当作与空间类似的维度；事实上，他将时间看成“时空”的第四个坐标轴，或第四次元。这暗示着，或许时间的流逝终究只是一种假象——果真如此的话，那么运动也是。我认为，尽管相对论是成功的，以上结论却会让我们离开物理学领域，进入形上学的浑沌之中，而形上学讨论的是缺乏经验科学作为后盾的抽象想法。

我的意思不是爱因斯坦的相对论有错；它当然是对的。但只有在物体以极快速度移动，也就是接近光速时，爱因斯坦所发现的效应才会显著。在日常生活的速度下，这种“相对论性”效应足以忽略，我们用日常熟悉的方式来看待时间与空间即可。此外，若将芝诺的论点推展到逻辑思考上的极限，以为时间与空间经过无穷次分割后，仍可继续分割成更小的离散间隔，这种想法并不正确。分割单位小到某种程度之后，量子效应开始出现，时间与空间本身变得“模糊”起来（fuzzy，意味着无法精确测量），无法再继续分割成更小的单位。事实上，在原子与次原子粒子的世界中，运动的概念的确有点虚幻不实。但这并不是芝诺所要探讨的。

解开芝诺的二分法悖论并不需要用到量子物理与相对论，尽管在这个架构下讨论这些理论相当有趣。如果用以上现代物理的概念试图论证一切运动皆为假象，不但偏离主题，物理学还可能摇身一变成为神秘主义。因此，我们还是不要将问题过度复杂化；相信我，接下来你还有许多机会碰到诸如此类不可思议的物理概念。