盘中格的定位和拼板放置次序

第3章　J＇s《伤脑筋十二块》排列程序及查阅系统

3．1　图案的J＇s排列程序（P）及说明

图案中拼板的排列千变万化，图案的J＇s排列程序（P）就是描述拼板在图案中的排列结构——记录拼板在拼图时的放置次序和放置方式，每幅图案都有其相对应的排列程序。

图案的排列程序（P）是一个由12个符号组成的数列。12个符号由12块拼板的编号（0～10和L）以及它们的放置方式（a～h）组成（见表3－1和表3－2）。数列记录了排列的次序，即在拼板拼图时放置的先后次序。每幅图案都可以通过其排列程序（P）数列来表达，一幅图案只有一个排列程序（P）；反之，这组数列（排列程序）所还原的对应的图案，也只有一幅。

3．1．1　盘中格的定位和拼板放置次序

“伤脑筋十二块”盘的外框规格有4种，分别是：〈6〉分部为6×10；〈5〉分部为5×12；〈4〉分部为4×15；〈3〉分部为3×20（见图3－1）。

图3－1　4种盘中格子的定位

盘中格的定位规则为：①横向（行）：自上而下，记为01，02，03，…②纵向（列）：自左而右，记为A，B，C，D，…这样，盘中每一个格子都有自己唯一的编号，如01A，05E，10B等等。

在〈6〉6×10框中，左上角为01A，从左到右依次为01B，01C，…，01F，即右上角为01F；最左一列从上到下依次为01A，02A，03A，…，10A，即左下角的编号为10A；由此推得右下角的编号为10F。

同样，在〈5〉5×12框中，左上角为01A，右上角为01E，左下角为12A，右下角为12E；在〈4〉4×15框中，左上角为01A，右上角为01D，左下角为15A，右下角为15D；在〈3〉3×20框中，左上角为01A，右上角为01C，左下角为20A，右下角为20C。

拼板在盘中放置次序是按盘中格的先后。最先的是左上角的01A，然后自左到右，01B，01C，…再自上而下02A，…02F，直至最后把12块拼板全部放进盘中。

3．1．2　拼板的放置方式

拼板在盘中正面放置时有4种方式：

（1）标准方式：拼板正放，用“a”表示，记录时用拼板编号加后缀a表示。

（2）拼板向右顺时针转90°，用“b”表示，记录时用拼板编号加后缀b表示。

（3）拼板向右顺时针转180°，用“c”表示，记录时用拼板编号加后缀c表示。

（4）拼板向右顺时针转270°，用“d”表示，记录时用拼板编号加后缀d表示。

在表3－1a中列出了0号拼板的4种放置方式及其表示法。具有中心对称性质的拼板，只有两种正面放置方式，如拼板1，2，如表3－1b所示。其实拼板1和2也有4种放置方式，但③、④两种放置方式和①、②的外形相同。表中图形用黑点表示头部以示图形的旋转，1号拼板的①、③与②、④虽然外形一样，但其方向已变了（差180°）。

表3－1a 拼板正面放置的4种方法及表示法

表3－1b 具有中心对称性质的拼板正面放置方法及表示法

10号拼板是个特殊的拼板，它既是轴对称，又是中心对称，随便转几个90°，它的外形都是一样的，所以它只有一种放置方式，在表示上只写10，不加后缀。

奇拼板放置方式表示法：

（1）奇拼板的正面图形与偶拼板一样，4种放置方式分别用拼板编号加后缀a，b，c，d表示。

（2）奇拼板的反面图形的4种放置方式则分别用拼板编号加后缀e，f，g，h表示，如图3－1c所示。

表3－1c 奇拼板的放置方法及表示法

其实，偶拼板反面图形的4种放置方式也是有4种，不过它们的正反面是相同的，所以省略了。

在所有的拼板放置方式中，一种放置方式的拼板只有一块，即10号拼板；有两种放置方式的拼板也只有一块，即1号拼板；有4种放置方式的拼板有5块，它们是拼板0，2，3，8，L；有8种放置方式的拼板也有5块，它们是拼板4，5，6，7，9，均为奇拼板，如表3－2所示。

表3－2　拼板放置方式及其表述法

（续表）

3．1．3　排列程序（P）的编制

1．编制规则

（1）拼板的放置次序。拼板按从盘中左上角开始，循盘中格的次序放置，自左向右，自上而下。

（2）拼板的放置方式。采用各种拼板的放置方式，要把盘中空格自左上角开始，向右、向下逐一放满。

（3）记录12块拼板的排列次序、放置方式，由12个符号组成的一个数列，就是该图案的排列程序（P）。

（4）排列程序（P）的汇编。某图案的排列程序（P）的编码是在该图案的编码前冠以P。如图案〈6〉02641的排列程序为P〈6〉02641。因为每幅图案都有其对应的排列程序（P），且只有一个，所以排列程序（P）的编排与图案的编排一致。

2．实例 〈6〉02641的排列程序（P）编制过程

图3－2　〈6〉02641的P程序编程过程

按照规则，〈6〉02641的排列程序（P）编制过程如下（见图3－2）：

（1）从01A格开始放置0号拼板，正放，记为0a；现01行剩下的空格有01C，01D，01E和01F。

（2）在01C格放置9号拼板，转270°，记为9d；9号拼板占有01C，01D和01E，因而01行中剩下的尚有01F。

（3）在01F放入2号拼板，转90°，记为2b。此时02行已无空格，03行尚有空格03C，03E和03F。

（4）在03C中放入10号拼板，记为10。

（5）在03E中放入7号拼板，反面正放，记为7e。

（6）此时在04行中尚有空格04A和04F。在04A中放入3号拼板，转180°，记为3c。

（7）将1号拼板放入04F中，正放，记为1a。

（8）在05D中放入5号拼板，反放，转180°，记为5g。

（9）在06A中放入8号拼板，转90°，记为8b。这时在08行中有08B，08C和08E三个空格。

（10）把6号拼板放入08B，反放，记为6e。

（11）把L号拼板放入08C，正放，记为La。

（12）最后把4号拼板转180°放入08E中，记为4c。

根据放入12块拼板的次序、放置方式等组成一组数列，就是图案〈6〉02641的排列程序（P），表达如下：

因为第一块拼板必须从01A开始，所以是数列的第一个符号，如图案〈6〉02641的P程序的第一位符号为0a，即0号拼板正放。但最后一格（10F）的拼板不一定是数列的最后一位。由于拼板都占有5个格，向上或向左都占有格，它在排列次序上就不一定是最后一位了。

3．1．4　数列与图的相互转换

根据拼板的排列次序和放置方式可将图案编制成排列程序（P）。反之，也可以根据排列程序（P）中记录的拼板的排列次序和放置方式还原出它所对应的图案。这就是图案的图与数列的相互转换。

以3．1．3节中实例为例。图案〈6〉02641的排列程序（P）的数列为

P〈6〉02641：0a 9d 2b 10 7e 3c 1a 5g 8b 6e La 4c

按照数列的12个符号（12个拼板的放置方式）从01A格开始由左向右、由上而下逐一放置12块拼板，即完成了该图案的拼图。

图3－3　图案〈6〉02641的还原过程

图3－3所示是根据排列程序P〈6〉02641还原图案〈6〉02641的过程，步骤如下。

（1）0号拼板正放放入01A格。

（2）9号拼板转270°放入01C格。

（3）2号拼板转90°放入01F格，这时02行已无空格，03行空格有03C，03E和03F。

（4）10号拼板放入03C格。

（5）在03E中放入7号拼板，反面正放。

（6）3号拼板转180°放入04A格。

（7）1号拼板正放放入04F格。

（8）在05D中放入5号拼板，反面放并转180°。

（9）在06A中放入8号拼板，并转90°。

（10）6号拼板反面正放放入08B格。

（11）L号拼板正放放入08C格。

（12）最后把4号拼板转180°放入08E格。

排列程序（P）可以还原成其对应的图案，图案也可以用排列程序（P）数列来表达，这就是数列与图的转换，是相互可逆的。假设从图案编制排列程序（P）是正向操作，那么从排列程序（P）还原成图案则是逆向操作。所以掌握了图案就有了排列程序（P），掌握了排列程序（P）也就有了图案。

3．2　图表查阅系统说明

为了能清晰了解目前用“伤脑筋十二块”已拼成的全部图案，以及图案变换系列中各图案之间的变换关系和参与的组合图形，我们设计了三类“一览表”表格，它们和第四篇的图集结合，可以很方便地建立起“伤脑筋十二块”拼图图案的查阅系统。

这三类“一览表”和相应的“明细表”或“汇总表”分叙如下。

1）《图案变换系列一览表》（见第9章）

表格记录了每个变换系列的编号、该系列中图案的编码以及变换方式。结合《组合图形一览表》可以查出该系列图案相互间变换的来龙去脉，了解具体的变换方式。

附有《图案变换系列明细表》（见表3－6）。

2）《组合图形一览表》（见第10章）

可变换组合图形及其变换方式是创造新图案的十分有用的手段。《组合图形一览表》按组合图形的变换方式编排，包括变换方式的编号、参与变换的拼板编号、图形以及含有该变换方式的图案变换系列的编号。

附有《组合图形汇总表》（见表3－7）。

3）《图案的J＇s排列程序（P）一览表》^[1]

表格按图集的分部分册顺序记录了已拼出的全部“伤脑筋十二块”图案的J＇s排列程序（P），表中列有（正／副图的）图案序号、编码、可变序列号、排列程序（P）、正负指数和对应副／正图的序号、编码，并与第四篇图集中的图案一一对应。

附有《图案分部分册明细表》（见表3－8～表3－11）和《图案分部汇总表》（见表3－12）。

3．2．1　《图案变换系列一览表》

为了简明正确地记录，作出以下规定。

1．图案的类别

以图案外框尺寸分为4个类别：

（1）外框尺寸为6×10单位面积，称为6分部，记为〈6〉。

（2）外框尺寸为5×12单位面积，称为5分部，记为〈5〉。

（3）外框尺寸为4×15单位面积，称为4分部，记为〈4〉。

（4）外框尺寸为3×20单位面积，称为3分部，记为〈3〉。

2．拼板的编号

拼板编号的排列按自然数次序，L排在最后，共有12个编号，如图3－4所示。

图3－4　J＇s拼板编号法（同图1－1）

在第四篇的图集中，奇拼板的反面饰以小圆点花纹以示区别。

3．变换系列的变换阶数

0价是没有变换的图案（20＝1），只有1幅图案。

1价变换图案内起码有一对变换（21＝2），图案数2～3。

2价变换图案内起码有两对变换（22＝4），图案数4～7。

3价变换图案内起码有3对变换（23＝8），图案数8～15。

4价变换图案内起码有4对变换（24＝16），图案数≥16。

同一编号的不同图案加后缀序号以示区别，次序按图案的变换阶数排列，即按0，1，2，3，4价次排列。

4．变换系列的编号

图3－5　变换系列的编号

图案变换系列编号中应包括图案类别、变换价数、变换序号，如图3－5所示。如变换系列编号“〈6〉－3－29”，分别表示该系列的类别属于6分部，价数为3阶变换，29为在变换系列中的序号。按此编号可从第三篇表集中第9章《图案变换系列一览表》的9．1．4节中查出该系列的其他图案编码及变化方式。

5．《图案变换系列一览表》内容及查阅方法

表3－3　图案变换系列一览表

从表3－3中可以看出，〈6〉－1－209系列有3幅图案，是图案17L69、697L10和69872，由于它们分别归属17分部和6分部，故增设副图一幅，是图案?6L710；对应的主图则在图案编码下加一道横线。变化方式为E93－2和T26－2。图案17L69通过变换T24－2中1，7和5，6的替代变成图案697L10，而图案697L10通过移位变换E93－2变成图案69872。具体变换可查《组合图形一览表》。

3．2．2　《组合图形一览表》

《组合图形一览表》记录了可变换组合图形的全部信息，使用说明如下。

1．组合图形的分类

组合图形按其图形形式及变换方式的不同分为两个大类、8个分类。

1）对称型组合图形

包括4类，即有4种对称组合图形，它们分别是：DD型（中心对称组合图形）、JD型（矩形组合图形）、XD型（斜轴对称组合图形）和ZD型（纵轴对称组合图形）。

2）非对称型组合图形

也有4类，即4种变换方式：E型（移位型变换组合图形）、T型（替代型变换组合图形）、Z型（置换型变换组合图形）和YT型（隐型变换组合图形）。

2．组合图形的编号和排列

用大写英文字母指明变换方式，后面的数字下标为序号，如DD5，XD7，T8等。

对称型组合图形按参与变换的拼板数目的多少和拼板的编号次序排列。如ZD1，参与拼板为2，4；ZD7，参与拼板为4，8；ZD16，参与拼板为0，3，9；ZD45，参与拼板为4，5，6，7，等等。外形相同的图形归纳在一个编号内，并加后缀序号，后缀序号的排列根据参与拼板编号的大小，如ZD5－1和ZD5－2，前者参与拼板为3与6，后者为6与7。

非对称型组合图形编号规则基本同对称型。由于变换的特殊性，有的还需加上参与的拼板，如T型、Z型等变换。

3．《组合图形一览表》内容及查阅方法

仍以〈6〉－1－209为例。

从表3－4中可以查到，参与E93－2变换的拼板有4，7，8，10和L，有该变换方式的只有〈6〉－1－209一个变换系列；参与T26－2变换的拼板有1，7和6，9，有该变换方式的除了〈6〉－1－209外还有〈6〉－2－27和〈5〉－2－27两个变换系列。还可进一步从《图案变换系列一览表》中查阅〈6〉－2－27和〈5〉－2－27两个变换系列中的图案编号，从《伤脑筋十二块图集》中查到有关图案。

表3－4　组合图形一览表

3．2．3　《图案的J＇s排列程序（P）一览表》

《图案的J＇s排列程序（P）一览表》的形式如表3－5所示。

表3－5　图案的J＇s排列程序（P）一览表

从表3－5中可以观察到同一变换系列中图案排列程序的差异。对照《图案变换系列一览表》、《组合图形一览表》和第四篇图集中的图案，可以清晰地领悟到12块拼板拼图的内在联系和规律。如可变系列〈6〉－3－5的两幅副图?18609－1和（－）?18609－2，它们的排列程序只有第7块和第8块的4号拼板和10号拼板不同，为ZD8变换。由于变换中4号拼板由正面变成反面（4c→4e），正负指数也相应起了变化。

由于排列程序与图案是一一对应的，读者很容易根据图集中的图案写出相应的排列程序，为节省篇幅，本书中的《图案的J＇s排列程序（p）一览表》从略。

3．2．4　《伤脑筋十二块》图集使用说明

“伤脑筋十二块”图集包含有数千幅图案（包括3 718幅主图和450幅副图，若计及自变系列的全部图案，则图案总数为（3 718＋450）×4＝16 672幅），都汇编在第四篇中，可以随意查阅。本节介绍它们的使用方法。

在第四篇的图集中收录的平面图案是按第一象限图案编码的大小汇编成册。对于具有相同编码的多个图案，在编码上加后缀序号以示区别。每幅图案均标出其编码、变换系列号、图案序号（表在图案的左侧）和正负指数（用小圆圈圈住）；对互为主副图的两组图案还在图案的下方注明所对应的副／主图的序号及编码，便于相互对照，见图3－6所示。

图案根据外框尺寸分为4个分部：〈6〉分部、〈5〉分部、〈4〉分部和〈3〉分部。〈6〉分部共分10个分册，52个子部；〈5〉分部共分5个分册，32个子部；〈4〉分部有2个分册，16个子部；〈3〉分部仅有2组图案，为一个可变系列，故排在〈4〉分部之后（第17册），不再分册（见3．3．3节中的《图案分部分册明细表》）。

对新拼成的图案，首先确定其主图，若不能在图集中查到，那么这就是图集外的新增图案。新增图案应注意它是否有可变组合图形而衍生成可变系列（请参阅第2章有关内容）。新增图案根据图案编码插入图集中，可以不断充实、丰富本图集。

下面介绍如何查阅本图集。

例1　若拼成的图案的编码为15360，如图3－7所示，可从图集第6分册的15子部查到该图案，它仅仅是0阶图案，没有可变系列，图上标志出主图的正负指数为43，左侧注明了它在〈6〉分部系列图案中的序号为1275。

图3－6　图集中图案的表示法

图3－7　图案查阅方式例1

例2　若拼成的图案的编码为06279，如图3－8①所示。从图集第1分册06子部查到图案，该图编码下有一横线，说明有一副图，且有〈6〉－1－41的可变系列编号。从第9章《图案变换系列一览表》中查到〈6〉－1－41中有一个副图?27061（图案②），另两幅主图为图案27L61（图案③）和图案27641（图案④），副图图案?27061是主图图案的第四象限图。还可查到该系列的变换方式为E26（参与拼板4，6，L）和XD13－2（参与拼板0，4，L）。变换过程是：图案②→（XD13－2）→图案③→（E26）→图案④。

图3－8　图案查阅方式例2

图3－9　图案查阅方式例3

例3　见图3－9所示例子。图案①是图案②67281的第四象限图。该图是〈6〉－3－39系列，变化多端，共有14幅图案，分别分布在2子部（8幅）、4子部（2幅）和6子部（4幅），其中只有一个拼板的位置没有变，那便是“6”。为了更直观，现把该系列统统归到6子部，因而?67281－4便成了图案的副图。图案仍保留，并在该图编码下加一横线表明有一副图。这样该系列共有10个副图且全部在6子部，便于查阅与对照。

由此可见，通过第三篇的两个“一览表”（《图案变换系列一览表》和《组合图形一览表》）可以查出有关系列的资料。

3．3　明细表与汇总表

3．3．1　《图案变换系列明细表》

《图案变换系列明细表》归纳了各类图案的各阶变换数量。从表3－6中可以看出，总共有752个变换系列，变换系列的图案有3 290幅，占全部图案3 718幅的88．48%，说明大多数图案都有变换系列。

表3－6　图案变换系列明细表

3．3．2　《组合图形汇总表》

从表3－7中可以了解到组合图形的图形数量及其各个变换方式的数量。

表3－7　组合图形汇总表

必须说明的是，本书所列的组合图形及其变换方式仅仅是在本书图集（第四篇）或图例（第一篇）中出现过的。随着“伤脑筋十二块”图案的不断补充充实，组合图形及其变换方式也将越来越丰富。

3．3．3　图案分部分册明细表与汇总表

1．《图案分部分册明细表》

《图案分部分册明细表》详细记录了每一分册每一分部以及各子部的图案分布情况和数量。表3－8～表3－11分别记录了〈6〉分部、〈5〉分部、〈4〉分部和〈3〉分部各分册的明细。

表3－8　〈6〉分部分册明细表

（续表）

（续表）

表3－9　〈5〉分部分册明细表

（续表）

表3－10　〈4〉分部分册明细表

表3－11　〈3〉分部分册明细表

2．《图案分部汇总表》

从表3－12中可以查出图集的图案总数是4 168幅，其中主图3 718幅，副图450幅。在主图中〈6〉分部占62．88%，〈5〉分部占27．16%，〈4〉分部占9．90%，〈3〉分部占0．05%。

表3－12　图案分部汇总表

【注释】

[1]限于篇幅，在第三篇的表集中没有收录《图案的排列程序（p）一览表》，感兴趣的读者可自行记录。