同一个数加的数越大结果就越大

57.奇妙的自然数

0、1、2、3……这些人人熟悉而又简单的自然数，有着许多奇妙有趣的性质。

从一个小正方形开始，第一层虚线标出三个小正方形，第二层虚线标出五个小正方形……它说明了下面一些有趣的事实：

1＝1－1²

1＝3＝4＝2²

1＋3＋5＝9＝3³

……

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64＝8²一般地，如果n是一个自然数，则：1＋3＋5＋……＋（2n－1）＝n²。

对于所有的自然数，下面的式子也是正确的：

1³＝1²，1³＋2³＝1＋8＝9＝（1＋2）²

1³＋2³＋3³＝1＋8＋27＝（1＋2＋3）²

1³＋2³＋3³＋4³＝1＋8＋27＋64＝（1＋2＋3＋4）²

……

1³＋2³＋3³……＋n³＝1＋8＋27＋……＋n³＝（1＋2＋3＋……＋n）²

再来看6174这个数。把它的各位数从大到小写一遍，再从小到大写一遍，然后相减：7641－1467＝6174。结果竟与原数6174一样。有趣的是，如果随便取一个四拉数，只要它的四个数字不完全相同，按上述方法对它处理，并重复多次，最终都将得到6174这个数。比如0923：

9320－0239＝9081，

9810－0189＝9621，

9621－1269＝8352，

8532－2358＝6174。

对随便一个六位数按上述方法计算，会得到三种结果：（1）631764的重复；（2）549945的重复；（3）下列七个数的循环：840852，860832，862632，642654，420876，851742，750843。

对八位数也有类似的结果，最后都归于63317664；对十位数来说，最后都归于6333176664，从四位数到十位数，用上述方法处理的结果，都与6174这个数有关。

1930年，意大利的杜西教授作了如下观察：

在一个圆周上放上任意四个数例如：8，43，17，29，让两个相邻的数相减，并且总是大的减小的，如此下去，在有限步之内必然会出现四个相等的数。科学家还证明，如果四个数中最大的是n，则在重复4n－1步时，四个差数将相同。

三位数也有奇妙的性质。

任取一个三位数，将各位数字倒看排出来成为一个新的数，加到原数上，反复这样做，对于大多数自然数，很快就会得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数。比如从195开始：

195＋591＝786

786＋687＝1473

1473＋7341＝5214

5214＋4125＝9339

只用四步就得到了上述结果。这种结果称为回文数，也称对称数。但是，也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数，其中最小的数是196，它在被试验到5万步，达到21000位时，仍没有得到回文数。在前10万个自然数中，有5996个数像196这样似乎永远不能产生回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。于是196问题，成了世界性的难题。

专门研究数的各种性质的数学分支，叫做数论，其中有许多既有趣又有困难的问题，科学家们正努力加以解决。