数学的统一性

数学起源于人类各种各样的实践活动，从不同的角度，不同的方法出发而得到同一的或互相联系的结果. 每一种数学概念以多种形式与其经验上的起源相联系，尽管它分支众多，发展迅猛，但它是一个惊人的统一的思想体系.

第一，它具有独一无二的语言系统.

数学语言由精炼准确的概念(定义)、命题、定理、推论、证明、讨论、计算、应用所组成，是一个独特的集合论模型. 在叙述内容时使用了数学符号、字母和演绎推理方法，逻辑性强; 虽然语法不是很复杂，但结构严谨，概念比较抽象，显得有些冷膜，对于没有入门的学生来说，不知道在讲些什么.

公理化方法对数学语言系统影响很大. 一方面，它顺应数学理论严谨叙述的要求，结构清晰、逻辑严密、去除冗余、干脆利落、十分严肃; 另一方面，它体现了经济法则，最大限度地表述数学内容而所用的文字最少，是“有限手段的无限运用”，与文学语言和其他科学的语言截然不同.

语言符号的递归性很强. 数学语言杜绝模糊、杜绝歧义，是语言所能达到的最高境界. 同时，数学语言符号可以反复地使用有限的规则，具有递归性. 随着电子计算机的出现和发展，数学语言的独特性达到了新的高度.

第二，数学的统一在不断地抽象简化过程中进行.

抽象不是数学独有的属性，但数学抽象达到了其他科学不能达到的程度，又不能不说这是数学的特色. 而数学符号是数学抽象物的表现形式，是数学存在的具体化身，从而造就了数学的形式化.

欧几里得从几何形体的原始直观中，用抽象的方法提炼出几何概念和公理，并引入逻辑推理，把人类自古积累起来的几何知识统一成了《几何原本》.

17世纪之后，各种各样的几何出现. 19世纪70年代，德国著名的数学家克莱因在他的埃尔兰根大学的讲演讲中用群的观点统一几何. 他的理论被誉为几何理论的“伟大综合”. 他认为，所谓不同的几何，就是研究在不同的变换群下的不变性. 其几何概念，把罗氏几何、黎曼几何甚至拓扑学都囊括了.

17世纪前，整个数学统一于几何学. 随着代数研究的日益活跃，笛卡儿和费尔马创立了坐标几何，把代数和几何紧密地结合起来，代数在几何的研究中显示出强大的威力，成为17世纪的辉煌. 值得一提的是法国数学家韦达(F.Vieta，1540—1603)，他第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛，又创造出新生命来，效果十分显著. 代数的地位与日俱增，表现出更大的灵活现.

1是简单的自然数，i是最简单的虚数，一个是实单位，一个是虚单位; 而π和e是超越数，可谓是复杂的数了. 这四个数产生的时代不同，彼此之间似乎没有什么联系，然而欧拉竟然证明了:

eπi+1=0

把这四个数统一在一个式子里.

数系也是如此. 自然数之后，陆续产生新数——负整数、0、分数，然后无理数、虚数. 这些数都统一在复数系内，实数系不过是复数系的部分. 整个数系从“1”出发，用公理法可以构成各种新数系的一个统一模式.

20世纪30年代，法国出现了一个由年轻数学家组成的数学团体——布尔巴基(Nicolas Bourbaki，多个数学家的代称)学派.这个学派以复兴法国数学为宗旨，历久不衰(半个世纪)，至少有三四代人参与. 他们精力旺盛，作风艰苦，自费开展工作，用结构的思想来推动数学研究. 他们认为，全部数学基于三种母结构: 代数结构、序结构和拓扑结构. 他们共同的论著《数学原本》多达40卷，贯穿了结构思想. 他们首先把一些理论的基本概念仔细剖析，折成零件(各种结构)，然后整理归纳，使各门数学学科位置相当，在写作过程中不崇尚技巧，而重视结构，作品完成后，集体审稿，无私合作，在培植数学的整体观念、数学基础的统一性，符号选择，叙述风格，有着深远影响. 事实上，数学的结构所研究的是最简单系统. 每个结构就是一个数学对象，每个对象都产生大量的问题. 正是由于大量的结构问题，产生出来许多新的学科和新领域，成为20世纪数学的主流. 能用简单的词汇，尽可能多的解释世界，发掘世界的奥秘，是数学的传统特色.

第三，数学的发展朝着统一的路线前进.

20世纪以来，数学的发展存在两种趋势，一方面，新概念、新方法的增多，促进了数学分支的增多; 另一方面，不同学科的相互渗透、相互联系或方法的近似，数学思想的融合，数学中不同分支的界线正在变得很模糊，数学的统一化进程也有所加快.

数学史家李文林分析了现代数学中微分拓扑与代数拓扑、整体微分几何、代数几何、多复变函数论、动力系统、偏微分方程与泛函分析、随机分析各分支的情况，指出: 微分拓扑与代数拓扑联系紧密; 微分几何是分析在几何中的应用，整体微分几何与现代分析有着更深刻的联系，而代数几何与代数拓扑多复变函数，抽象代数、微分几何交织在一起; 现代偏微分方程与拓扑学微分几何、多复变函数论都有密切联系; 随机性数学与决定性数学有着内在统一性，动力系统又与微分拓扑学相互交叉、相互影响。表明数学的有机统一，是这门科学固有的特点. 随着数学的发展，这种有机的特性不会丧失，只会更清楚地呈现出来. 数学内部的这种统一性，也正是它能够作为科学的普遍语言的根源所在. 数学科学的统一趋势，将保持下去，继续成为21世纪数学的重要特征之一.