布尔代数与逻辑设计

5.2.3.1 布尔代数的定义

布尔(George Boole，1815—1864)，英国数学家逻辑学家，自学成才，曾在爱尔兰科克城任女王学院(今爱尔兰国立大学科克大学院)数学教授，英国皇家学会会员. 他应用代数方法研究逻辑问题形成逻辑代数，被认为是数理逻辑奠基人之一.

布尔代数亦称逻辑代数，或开关代数，为布尔首创，1904年亨延顿(E.V.Huntington，1874—1952)给出了布尔代数的公理系统，一般布尔代数的定义是:

设有一个非空集合B; 2个定元0及1(0，1∈B; 0≠1); 三个B上的代数运算布尔和∪、布尔乘·、及求补'. 若对B中的任意元x，y，z，下列六个基本定律都成立:

则称＜B，∪，·，'，0，1＞为布尔代数，并称三个运算为布尔运算，B为布尔集，B的元称为布尔元，待确定的布尔元(x，y，z等)称为布尔变量(变元)，x'称为x的布尔补，x∪y称为x与y的布尔和，x·y称为x与y的布尔积.

5.2.3.2 逻辑设计

先对布尔代数中三种运算作一些解释.

(1)布尔和∪，即“或”运算.“或”运算又叫逻辑加“+”，两个变量“或”运算的逻辑关系表示为

z=x+y

式中，“+”号是“或”运算符，上式读作“z等于x或y”.

(2)布尔乘·，即“与”运算，又叫逻辑乘，两个变量的“与”运算的逻辑关系可表示为

z=x·y

式中“·”号表示“与”运算符，上式读作“z等于x与y“或者”z等于x乘y”.

(3)布尔求补，即“非”运算，“非”运算又叫逻辑取反，对一个变量的“非”运算的逻辑关系可表示为

上式读作“z等于x的非(补)”.

上述三种运算可用真值表来描述.

在现实生活中，开关电路的设计是布尔代数的一个有效应用，例如，有一幢别墅，二层楼房，楼梯装着一盏灯X，正门入口处装有开关A，在二楼的走廊上装有开关B，如果主人希望电灯布线满足以下条件:

(1)进门时按一下正门入口处开关A，楼梯上电灯便亮;

(2)上二楼后，按一下走廊上的开关B，楼梯上的电灯熄灭，且开关A闭合;

(3)如果再有家人进门，按一下开关A，电灯再次启亮;

(4)家人上二楼，按一下开关B，楼梯上电灯熄灭……如此循环往返.

按照主人布线要求，开关的状态是: 当A=B=0时(开关切断)，电灯不亮，X=0; 主人进门，按开关A(原态闭合)A=1，B=0，电灯亮了，X=1; 登二楼后按开关B(原态闭合)，此时A=1，B=1，要求X=0(电灯熄灭). 当家人再次进入大门时，按一下开关A，A被切断，即A=0，B=1，电灯再次亮了X=1; 再跑上二楼按开关B，B被切断，A原来断开，即A=0，B=0，有X=0. 按上述情况如表5-3.

表5-3

从表中数据知道，只要能满足A、B四种取值情况，就可达到设计目的，开关A、B同时启、闭都能使电灯熄灭，而在A、B相反的状态，可使电灯点亮，于是可得到电灯亮的逻辑式:X=A¯B+¯AB. 从而可给出自动装置机能图(线路设计图)，如图5.14.

在现代科学技术中，信号的接收、处理和传输是十分重要的. 逻辑代数中的命题计算，实质上是信号计算，把具有能使信号相加，相乘或否定能力的装置叫逻辑元件，而二进制数字1与0，可以用电流的“通”与“断”两种状态来表示，并有转换信息的功能，利用这些原理通过技术设计，就能形成自动装置，所有的电子计算机，不论是简单的还是复杂的，都是由“与”、“或”、“非”这三种元件组成的.

图5.14