希尔伯特的《符号的王国》

6.1　符号的王国

像康德一样，希尔伯特也来自于哥尼斯堡。在追求令人愉快的对称性中，希尔伯特的第一个具有哲学意义的工作出现在其1899年的著作《几何基础》（Foundations of Geometry）之中。这本书最具吸引力的特点是系统地保留着未被定义的最原始的概念（点、线、圆）。最终，所有这些没有定义的概念的相互关系，被视为是由公理所控制的抽象结构的符号因素。几何被认为是一种充分公理化的理论，独立于对其原始符号的解释。据说，希尔伯特说过为了强调这种途径的特征，人们必须完全可以随时“用桌子、椅子、啤酒杯”来替代“点、线、面”。

让我们以下例方式来展开这一点：人们只需要关注“能指”中的形式结构的关系。那些几何上能指所指称的东西是无关紧要的，因为它们可以指称任何东西，如椅子和啤酒杯的概念。指称者与被指称者之间的关系是任意的。

希尔伯特相信所有数学都能够以这种方式形成。但与罗素与弗雷格的纲领相反，希尔伯特并不认为直觉完全是可有可无的。希尔伯特相信康德所提出的框架，虽然他对此进行了各式各样的修正，以至很难草率地声称希尔伯特为任何直接意义上的“康德主义”。尽管人们可以合理地怀疑希尔伯特是不是康德的忠实信徒，然而在其1931年的一篇文章中，他表现出对康德观点的赞许：“即使今天，我们也不会更为详细地与康德一致，然而，康德认识论中最为一般与基本的思想对探索一种先天的直觉模式仍然具有重要的意义。”⁽¹⁾

当康德依赖于时间与空间的先天直觉时，希尔伯特采用了某些像有限结构之类的一种先天直觉，一种符号直觉。在某一方面，它类似于康德的先天直觉，但清除掉了其中不必要的“拟人论的垃圾”。然而，这一著名虚假前提看来已经被某些后现代思想的先驱过分热心地追随。

然而，在我们考虑希尔伯特的陈述被认为是一种难以理解的极端途径之前，让我们稍许考察一下他想保留康德式知识的人类中心论是什么。让我们首先考查“有限直觉”的观念。在其文章《数学的新基础》（The new grounding of mathematics）（1922）一文中，希尔伯特写道：

“作为逻辑推理的应用与逻辑操作活动的一个先决条件，某些东西看来必须被表达出来：某些超逻辑的离散对象，它是以直觉方式而存在，并先于所有思想的间接经验……我认为作为纯粹数学（还有所有的科学思想、理解与交流）的坚实基础的哲学态度所需要的是：从一开始，就存在着符号。”⁽²⁾

让我们暂时离题一下。我们不难理解为什么在希尔伯特学派与像布劳威尔这类的浪漫主义者之间存在着众多的一致点。希尔伯特认为“从一开始，就存在着符号”（原文用斜体字）⁽³⁾，相当公开地挑战了浪漫主义，在某种意义上说，行动是先于知识的观念。如费希特写道：“我们不行动，是因为我们知道；我们知道，是因为我们被要求行动。”甚至更为有趣的是，人们可以发现希尔伯特的断言是对来自于歌德《浮士德》（Faust）书中一段话“从一开始，就存在着行动”的一种反讥性反应。（根据St．John这本身就是Gospel的一种邪说，亦是说“从一开始，就存在着语词。）

因此，虽然希尔伯特的“有限直觉”能够容纳直觉主义，但具有某些重要的、隐藏在背景中的意识上的差异。这种分歧随着“学派之争”的继续而逐渐变得扩大并引人注目。

我论述这一点，是因为希尔伯特有关直觉的思想最终转变为某些我们在前一章中所熟悉的观念。布劳威尔相信连续性直觉，而希尔伯特持间断、有限对象的直觉。这些有限对象被认为是能够在直觉上所把握的形式，一种符号的“现象”。

至此，我们已经在希尔伯特的断言中理解了这些形式是我们能够直接把握的。无论这些在直觉上被赋予的离散对象（它们的准确本性会转变为一种神秘的事物）是什么，我们对它们的断言能够在康德的术语中被称之为“真正的判断”。与一般逻辑的“理想判断”（它处理可能的空洞概念，只是作为一种规则性原则）相反，真正的判断并不是空洞的，而是具有实际的知识。

希尔伯特认为，与康德的知识论在结构上相类似，数学被分割为真实的与理想的两部分。真实的数学是由真实的判断和我们知识得以构成的证据所组成：有限结构、有限符号序列（证明的图形）与有关它们的判断。而理想的数学，它被用来刺激与引导知识的发展，但不是真正意义上的知识。希尔伯特对理想判断的看法类似于康德在《纯粹理性批判》中的解释：

“（理想判断并没有）为任何对象规定任何规则，并没有包含认知可能性，或确定这类对象的任何一般的基础……（它们）只是安排我们理解能力秩序的主观规律。”⁽⁴⁾

即使如此，这样的理想判断与那些有时是理想判断应用所产生的理想“对象”，都是推理的一个必要部分。与禁止它们的应用相反，希尔伯特说我们应该限制把“客观的”意义赋予这些陈述，这并不是说希尔伯特目的是放弃整个客观意义的观念。但这种严格自律的要求几乎就构成了希尔伯特认为数学是一种空洞的形式游戏的形式主义观点的所有特征的根源。

这种描述明显地来自于希尔伯特对布劳威尔1912年的一篇文章的评论。魏尔，希尔伯特的一位学生，反对把数学化归为纯粹形式，符号的结构，说它类似于由极端的现代艺术学派所提出的空洞的任意游戏⁽⁵⁾。类似的情绪同样表现在胡塞尔的《欧洲科学危机》（The Crisis of European）一书中，它表明通过“机械化”或“技术化”抽空了数学的意义。这种形式主义（胡塞尔有礼貌地想避免的称呼）把数学化归为在本质上等同于彭加勒明确反对的一种“牌或棋的游戏”⁽⁶⁾。

当面临如此之多的人的反对声音，我们会怀疑是不是其中存在着某些值得肯定的东西。从事后来看，希尔伯特学派仿佛最终把自己描述为一个其批评者称之为的形式主义。然而，至少在最初，理想数学对希尔伯特来说，并不是一种随意的游戏，就像有规则的思想一直是康德的任意游戏。它们反映出人类的思维结构，它必然要超越那些在现象世界中所赋予的东西。因此，希尔伯特是“康德主义”还是“形式主义”？这一问题仍然在争论之中。让我们更仔细地考察希尔伯特纲领。

没有任何人，甚至希尔伯特，会否认数学实践充满着类比推理，否认符号的隐喻性的意义特征以及每一种想象的启发性。然而，就“哲学的”目的来说，希尔伯特认为数学应该被视为一种纯粹形式的，不需要解释的符号系统。这种动机避免某些诸如我们有关数学对象本性之类的挑剔问题。希尔伯特想回避在开放对象的直觉主义的混沌宇宙观与永恒形式构成的柏拉图的冰冷世界之间的争论。在反思性的哲学论战中，他对持何种立场没有兴趣。

约定性地回避这一问题的途径之一是视数学为一种符号语言，其对象是语法上的虚拟物。它们就像“天正在下雨”这一陈述中的“天”，问什么正在下雨是没有什么意义的。

偶然地，在这里我们能够辨别出那些看来是维特根斯坦“语言游戏”概念的来源。类似于希尔伯特的“形式游戏”，一种语言游戏是由在某种意义上是“空洞的”活动或说话方式所组成。对维特根斯坦来说，这些活动不是通过单一的、统一的元游戏，而是利用其在确定“地域”语境中的效用来进行辩护。维特根斯坦工作部分上是建立在希尔伯特企图建立一种能够统一和证明所有其他数学“游戏”的普遍数学“游戏”的废墟上⁽⁷⁾。让我们看一看希尔伯特是如何计划完成这项工作的。

我们现在承认所有的数学对象都是语法上的虚拟物。我们有一种理想数学的形式语法，一个由某些法则所制约的不需要解释的“理想元素”的系统。系统中的演绎是符号的有限步骤。它们是能够被把握为有限的格式塔，因此是那些稀有的“真实”对象。同样，它们服从于“真正”的判断，服从于在直觉意义上的数学的“真实”。我们希望我们已经达到了这一点：任何形式上的演绎（就它们是直觉上被赋予的对象，即使它们出现在“无意义”的形式游戏中）不会结束这场争论。

希尔伯特希望发展出一种数学的数学，称之为元数学或证明论。其任务是表明在形式的理想数学系统中的演绎不会导致矛盾。它将构成所有数学语言游戏的裁决者。

元数学因此能够保证三个重要的性质：首先，系统具有形式的抽象（理想）结构，数学推理是相容的，也就是说不矛盾的，正确的推理是无矛盾的演绎。其次，与布劳威尔的观点直接相矛盾的是，它至少能够保证数学在部分上的交流是毫无疑问的：一种真实数学的有限主义者的观点所处理的是一种在数学共同体中所有人都容易接受的对象。最后，如果上述两点成立，那么这一纲领就会相当减轻有关符号论意义的哲学上的争论，如果不是彻底地消除的话（至少在希尔伯特看来）。如果人们要挑战数学推理的合法性，数学至少要回答说它摆脱了矛盾，因此它处理的是各式各样的“逻辑上可能的世界”。

这看来是一个很好的计划，然而其中存在着某些含糊的东西。一方面，希尔伯特把自己与某种康德主义联系在一起，看来更加愿意明确地进入数学的哲学争论。另一方面，当被迫考虑神秘的有限直觉细节时，他明确地承诺一位实践中的科学家的任务只是考虑数学的相容性，而不是其哲学上的反思。对希尔伯特来说，这看来表明数学意义的哲学问题只不过是一系列有待解决的数学问题（希尔伯特的确相信每一个数学问题都能够被解决，他说，“我们将理解”，“我们必须理解”。从这一点来看，他把数学理性的合法性的哲学问题化归为一种数学形式，总有一天会被解答。）

我认为这是最终要接受的第二点。尽管经常涉及康德哲学与大量其他哲学的讨论，希尔伯特纲领广泛关注的是证明数学方法本身为一种公认的科学实践。然而，可能从一开始，有限直觉最终不可能成为“真理”或“意义”的来源，而是一种社会约定。它是数学在理论上无法拒绝的最小成分。

一旦“社会契约”进入数学，在与自身并不矛盾和完备的意义上，毫无疑问的元数学将被用来证明“理想的数学”是相容的，那么真理与意义之类的含糊概念能够被消除或被形式的可证明性所取代。“真理”或其某种形式的替代物完全体现在方法之中。

这里，我们希望表明希尔伯特时代的几位哲学家所提出的问题：即使他的纲领完全成功（最终是不可能的），它仅表明我们只能够运算某种有限的数学结构，在其中不会出现矛盾。在这种情形中，希尔伯特充其量只能设法证明莱布尼兹的“盲目思想”（blind thought），那种现在被称之为符号运算的东西的合法性。莱布尼兹自己就曾经试图将这种思想合法化。也就是说，预定的和谐，宇宙中最终的相容，是由上帝的经验来保证的，这是莱布尼兹著名的证明。（回顾第二章，康德批评莱布尼兹存在性的证明：康德带有一点讽刺意味地说：“在其自鸣的成就中，莱布尼兹远没有达到成功。”）

即使希尔伯特给人们他已经获得成功的一个真实印象，然而还是留下一些尚待解决的重要问题。首先，为什么数学会有效？其次，如果元数学只研究纯粹形式系统的逻辑相容性问题，它完全忽视了数学系统发展中特殊的人类与历史的内涵，那么这种研究是否会使数学无意义？这大概就是胡塞尔在《欧洲科学的危机》一书的主题。

类似的问题由新康德主义的哲学家纳尔逊（Leonard Nelson）提出。当胡塞尔去弗莱堡后，纳尔逊继承了胡塞尔在哥廷根大学的位置。希尔伯特学派与纳尔逊的学派，在元数学的作用与希尔伯特的“有限直觉”问题上有着有趣的争论。最终两个学派同意保持分歧。纳尔逊甚至认为有限结构的直觉在事实上也是空间直觉，因为符号，无论它们是什么，最终必须被写成和理解为空间实体。

既然作为一种空间直觉，即使最小的形式，将允许至少存在某种形式上假设的直觉动机。但希尔伯特学派明确地拒绝这一提议的第一部分，认为逻辑的相容性就是所有的一切。纳尔逊最后表达了自己的不满，称希尔伯特学派为“虚无主义”⁽⁸⁾。

什么是希尔伯特学派持这种强硬立场的动机？看来可能是这样：一种真实科学哲学的主要任务就是对方法论本身进行严格研究，而不是对我们是如何从这些方法中获得知识来寻求辩护。后者包括我们对我们人类能力与动机的非科学反思，而这些基本上不属于“我们”的事情。至少我们应该忘记有关创造力与其他个体的古怪活动的胡说，这些个体相信理论知识制约了个体人类的能力。

在预先对某些后现代思想的讨论中，我可能有点夸张，某些人可能会反对我把这种“非人类主义”的观念与希尔伯特的形式主义联系在一起的做法。“形式主义”一词因此获得了一种意识形态的含义，这种含义可能反讽性地拒绝“人类中心论”的哲学。然而，某些后继的和无休止的在人类中心论问题上的争论中更为极端的攻击，在部分上看来是根源于希尔伯特学派思想。这一点已经被魏尔注意到。他在1928年写道：“如果希尔伯特的观点被广泛地接受，那么我们在这里看到了一种纯粹现象学的哲学态度的注定失败。”⁽⁹⁾但一般说来，情况对现象学来说，并不是如此沮丧。但希尔伯特试图从数学中消除这一点：看来主观主义与形式主义是难以协调的。

无论如何，希尔伯特所指的或想表达什么完全是无关紧要的，因为看来他的形式主义被卡瓦里斯（Jean Cavalles）极端化了。卡瓦里斯是一位科学哲学家，他专门研究形式主义对欧洲大陆结构主义传统与其后现代主义继承者的影响。在后面，我将更为详细地考察卡瓦里斯对希尔伯特工作的发展。沿着这条线索，我将追随米歇尔·福柯，他类似地但更为极端地，提出了一个彻底清除具有人类中心论偏见的整个西方哲学纲领——在形式主义观念被滥用中——理由是福柯的思想与希尔伯特的思想不会有多大的差异。

但让我们继续讨论希尔伯特。我们得理解人们是如何和为什么视他的纲领是失败的。让我们考虑有关希尔伯特纲领中某些重要的问题。

最迫切的问题是将要确定有限直觉的准确本性。不幸的是，希尔伯特对此有点含糊，他并没有明确解释什么是有限直觉。在事实上，问题是如此含糊被回答，以至有关问题至今仍在讨论，还没有任何线索暗示对他所提出的问题会有一种确定的答案。但至少有一件事是相当清楚的：无论他有关直觉的思想可能是什么，希尔伯特肯定并不会想象元数学为一种“反思性”哲学。他视它为一种数学，因此，无论有限直觉给予了我们什么，它应该以严格的数学方式来构造。

这看来就有问题了。是否能把元数学制造为“理想”数学的语法的一部分？希尔伯特认为这种理想数学是由没有什么现实意义的东西所组成的符号，他所说的先于逻辑推理行动的直觉的逻辑形态是否能站得住脚？也许站不住脚。但我们必须保留某些布劳威尔、魏尔、胡塞尔、甚至罗素所埋怨（complained about）的形式主义。

让我们引用奥地利逻辑学家哥德尔（Kurt Godel）的话，其著名的1931年的不完备性定理在某种意义上被视为是对希尔伯特纲领的“毁灭性”打击：“如果数学系统被认为是由无意义的符号所组成的话，人们如何能够想象在数学系统自身中表达出元数学？”⁽¹⁰⁾

推理在形式和直觉层次上的混淆可能会使整个数学容易陷入某些经典的悖论困扰。例如，如果直觉，真理的元数学观念能够被充分地形式化，那么人们可能会碰到诸如“这一陈述是假的”的陈述的困难。这正是哥德尔探索的途径。他表明如果真理的概念在数学上能够被定义，那么人们很容易在数学中引入一个说谎者悖论。我们能够在数学上形成一个自我指涉的断言“这一陈述是假的”，数学因此就是不相容的。

在一个形式化的语法系统中，列举完每一个句子的所有有关极端学究化的数字编码的可能悖论，这是一项困难和乏味的工作。我将通过转向哥德尔所偏爱的一位哲学家，莱布尼兹来证明这一点。莱布尼兹首先考虑这一问题。

莱布尼兹想构造一个符号语言，将证明“论证与计算是一回事”⁽¹¹⁾。为了这一目的，他把数字赋予那些被称之为原始或原子的概念。存在着著名的“特殊数字”。这里也存在着问题，他为了列举它们，必须假定所有这些原始概念必须预先就存在。你也许能够回忆起第三章中，莱布尼兹称这些为“非凡的特殊数字”，他只是假装声称它们是已经被给定了的。的确，他不得不假装。所有概念的普遍百科全书是无法获得的，虽然莱布尼兹梦想编辑出它。

不像莱布尼兹，哥德尔并没有假装。他处理的是严格的形式化的语法，因此我能够合理地试图列举出其所有的句子。我在这里正在试图避免技术问题，因此，像莱布尼兹一样，让我们假装（让我们采用某些概念，把数字赋予这些概念）。概念“理性”将被赋予2，“动物”将被赋予3，“人”，作为理性的动物，被赋予6，2的三倍。一只猴子是一只动物，但不是一种理性动物，因此，其数字能够被3所整除，但不能被2整除，让我们赋予其为9。我将在这里停止，但我希望你能够对其中的思想有所把握。

在我们的“语法”中所表达出来的陈述能够以这种方式来进行数字编码，这些陈述赖以存在的直觉真理对应着那些在数学中被证明了的东西。猴子不是人，无疑，猴子的数字是9，这一数字是不能成为人的数字（6）的整数倍。猴子数字（9）是动物的数字（3）的整数倍。这是无关紧要的。但如果我们现在假装在我们面前摆着所有原始概念、原子概念与及对它们编码的一本百科全书，那么我们语言中每一个句子的真理能够通过代数运算或纯粹的形式计算，也就是说通过了“盲目的思想”来确定。这是莱布尼兹的梦想。它在哥德尔证明中彻底破灭，这一证明实际上表明事实并不像莱布尼兹所期望的那样简单。

让我们暂时离开莱布尼兹，考虑哥德尔定理的结论。至此，我看来已确定了在数学语法中所表达句子的真理性能够通过计算来决定。哥德尔现在观察到，如果我们的那些可计算的概念是充分的广泛，那么这些计算就能够谈论自己。但计算是数学的一部分。特别是，在数学的形式语法系统之中，可以通过计算来决定诸如“这一陈述是假的”这一陈述的真实或错误。

一旦如此，我们就会具有一个悖论。因此存在着两种选择：要么承认数学本身就是矛盾的，要么真理的概念在数学上是不可定义的。第二种选择更为可行。真理并不是在形式上可定义的。对希尔伯特来说，这并不是一个问题，因为他想通过纯粹形式的证明性来取代这一含糊的“真理”的概念。但人们可以合理地相信我们在形式上所证明的陈述在直觉上并不是错误的。换言之，我们并不想持有这样一种看法：真理的形式替代物与那些应该被取代的直觉真理相矛盾。

哥德尔指出：不像真理的概念，形式证明性的概念在数学上是可定义的。一个“证明”是某种符号的有限序列。因此，证明与真理肯定不是一回事：一个在形式上能够被定义，另一个却不能。因此，如果我们坚持所有可证明的陈述都是真的，那么相反的陈述却不可能是真的。否则，真理与可证明性就是一回事，然而却不是。其结论是存在着不能够（在我们的形式化系统中）被证明的真实的数学陈述。

上一段的论证无需接触高潮剧情可以概括如下：或者数学是错误的，或存在着（在一个选择的形式系统中）不能够被证明是真实的数学陈述，这通常就是指“不完备性”。

我以这种方式来论述了这一点，并没有避免直觉真理的概念，因为这正是哥德尔所解释的隐藏在其证明之后的启发。哥德尔定理从根本上表明：如果我们选择把有限直觉理想化为一种充分强的抽象计算工具，那么希尔伯特纲领就会自动瓦解。因为在任何一个有限的公理化的形式系统中，不可能存在有关系统的无矛盾性证明，它们可以在系统内得到充分的表述。

不过还存在它如何被理想化的问题（我在下一节考查这一重要发展），因此，希尔伯特纲领被认为失败了。哥德尔十分谨慎地得出这一结论。因此，这一“失败”也不是绝对的，它仍然引起了一系列讨论。这是随直觉的特殊形式而定的，是一种可以简约为某类计算的形式。

哥德尔对其理论的启发性说明包括着客观的数学真理的概念，甚至于包含着与这一真理相关的直觉。这是一种坚定的反形式主义的思想。甚至在希尔伯特去世后，哥德尔仍持有这一立场。在他后来所做的某些评论中，人们可以看出，正是数学真理的概念化超越了一种特殊形式语言所能够把握的范围这一事实，是哥德尔发现了“不完备性定理”的关键。事实上，哥德尔看到许多形式语言都包含着相同的困难：“（一种语言中）一个句子的真理的概念不能够在（这一语言）中被定义。”⁽¹²⁾这就是波兰逻辑学家塔斯基（Alfred Taski）独立证明的定理，并在1933年发表。

有关这一点，最引人注目的是哥德尔不像当时形式主义中流行的那样放弃了客观性真理与直觉洞察，而是冷静地声称数学真理是客观的，甚至于在“直觉上”是可把握的，但不是语言能够完全控制的。这能够使我们清楚地理解哥德尔的哲学概貌。不幸的是，在别处，他过于很警觉与慎重。看来哥德尔保护着一种强烈的数学柏拉图主义，也就是，认为抽象的数学对象作为一种客观存在的对象，数学定理是表达出这些对象的客观真理⁽¹³⁾。

然而，众所周知的是，哥德尔肯定是莱布尼兹和康德严肃的读者，对胡塞尔他也持高度的尊敬态度。我不知道哥德尔的客观数学真理的观念是否与胡塞尔有关。然而，我在这里讨论哥德尔解读这些哲学家的著作，是因为他的不完备性定理经常被某些重要的欧洲大陆哲学家采用，以作为反对胡塞尔与康德的人类中心论哲学的武器。我将在第7章检验这种对“人类中心论”哲学的批评，以及这种批评是如何进入后现代思想之中的。

让我们考察什么构成了有限直觉，这些发展是如何影响科学的。