共谋和防共谋均衡

在多人博弈中,可能存在部分博弈方之间联合起来追求小团体利益的共谋行为,从而导致纳什均衡的不稳定。出于对这种可能性的防范,1987年理论界提出了“防共谋均衡”(coalitionproof equilibrium)。

一、共谋问题

在有多个博弈方参加的多人博弈中,如果有部分博弈方通过某种形式的默契或者串通形成小团体,借此可以获得比不串通时更多的利益,在理性人最大化个人利益原则的驱使下,那么这些博弈方有很强的串通、联合的动机和意愿。

这是三个博弈方同时决策的博弈,博弈方1有(U,D)两个策略,博弈方2有(L,R)两个策略,博弈方3选择矩阵A和矩阵B。具体通过图4-5A和图4-5B的博弈矩阵表示。

图4-5A　博弈方3选择A

图4-5B　博弈方3选择B

这个博弈中有两个纯策略纳什均衡{U,L,A}和{D,R,B},并且前一个是帕累托均衡优于后一个,从风险上策的角度分析前一个也优于后一个。如果不存在串通的情况下,{U,L,A}就是确定的纳什均衡。

如果博弈方中存在串通共谋的可能,那么{U,L,A}就不是最后的结果。如果博弈方3选择A,博弈方1和博弈方2达成一致的默契,分别采用策略D和策略R,他们都可以得到1的得益,大于{U,L,A}的得益0。

这时,博弈方1和博弈方2同时具有偏离原来纳什均衡的倾向和动机,前面介绍的帕累托上策均衡、风险上策均衡方法都无法解决这样的问题,要求我们必须引入新概念和新思路,以解决此类问题。

{U,L,A}不是防共谋的纳什均衡,但是纯策略纳什均衡{D,R,B}却具有防共谋的性质。因为这时,如果博弈方1和博弈方2一起偏离,他们的得益都由-1降到了-5,所以博弈方1和博弈方2不会共谋这样的偏离;分析博弈方1和博弈方3也不会共谋这样的偏离;同理分析博弈方2和博弈方3也不会共谋这样的偏离;再来讨论三个博弈方同时偏离的情况,那就是从{D,R,B}回跳到{U,L,A},回到前面的分析情况,形成了博弈方1和博弈方2共谋偏离的动机。

综合上面的分析,纯策略纳什均衡{D,R,B}具有防共谋的性质,是防共谋均衡。

二、防共谋均衡

从前面共谋问题的分析,可以看出防共谋均衡是在两个以上博弈方的博弈中,博弈方之间的通过串供获得更好的收益。下面给出防共谋均衡的定义:

定义4.1 如果一个博弈的某个策略组合满足下列要求:(1)没有任何单个博弈方的“串通”会改变博弈的结果,即单独改变策略无利可图;(2)给定选择偏离的博弈方有再次偏离的自由时,没有任何两个博弈方的串通会改变博弈的结果;(3)依此类推,直到所有博弈方都参加的串通也不会改变博弈的结果。满足这些要求时,可称为“防共谋均衡”。

防共谋均衡概念是由经济学家本海姆、别列葛和温斯顿在1987年提出的,由于过于理论化,故不太被认可。到了1994年,罗斯曼和赫朴曼在论文中将“防共谋均衡”作为理论依据,把这一理论的结果用到了贸易行为的分析中,使得经济学界开始重视防共谋问题。防共谋均衡已经成为判别纳什均衡是否稳健的一个重要标准。

如果排除了共谋的因素后,多人博弈与两人博弈的差别就不大了,我们之前的博弈分析方法都可以使用了。多人博弈的复杂性,远比我们可以想象的要复杂、严重得多。