起源与早期发展

第一节　起源与早期发展

一、数学的起源

数概念的产生是人类认识史上的一次飞跃，它标志着数学的起源。从出土文物可以看到，在中国，发生这种飞跃的时间不晚于7000年前。

简单几何图形的出现，是数学起源的另一标志。半坡出土的陶器上，有圆、三角形、长方形、菱形等各种几何图形。圆柱形陶纺轮的烧制，表明人们有了圆柱的观念；而造型精致的空心陶球，则说明人们已掌握一些关于球的知识。这些都是萌芽状态中的几何。我们从某些陶器的图案中，可以推测菱形产生的有趣过程，它体现了由具体到抽象的认识规律。

数概念产生之后，原始记数法便随之出现了。结绳记数是原始社会普遍使用的一种记数方法。刻画记数是比结绳记数进步的一种记数法，也产生于原始社会。人们在竹、木或骨片上面刻出一个个小口，表示一定的数目。

中国最早的数字出现于原始陶器，可称之为陶文。陕西姜寨出土的陶器（约6000年前）上有类似的数字：很明显，这些数字都属十进制系统。

二、商周数学

大约4000年前夏朝的建立，标志着中国进入了奴隶社会。随着社会的发展，商代出现了比较成熟的文字——甲骨文，西周则演变为金文，即刻在青铜器上的铭文。

1．甲骨文中的数字

商代甲骨文表明，当时已有比较完整的数字系统。从1到10的每个整数，以及100，1000，10000，都有相应的符号表示。

十、百、千、万的倍数多用合文，在甲骨文中，最大的数是三万，人们能表示三万以内的任何自然数（也许更多）。甲骨文中的数字，大部分联系着实物，如五十犬，三十羊。也有一些甲骨上的数字是独立出现的，人们曾在一片龟甲上发现了10以内的全部自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念。

2．记数和运算

商代数学中，十进制已相当完善了，这是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。著名的英国科学史家李约瑟说：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

对甲骨文的研究表明，商朝人已经会做自然数的加、减法和简单乘法了，遗憾的是不知道他们的具体算法，因为甲骨文记录的只是运算结果，而没有运算过程。

周代记数法与商代相比，有一个明显的进步，就是出现了位值记数。如20世纪70年代出土的一个中山国铜灯铭文中，355记作，末位的五表示个位五，而前一个五表示五十，两个五间没有用十隔开。这说明当时已有了位值的观念，只是应用不多，还未形成系统的制度。

3．干支纪年法

六十循环的“天干地支”记数法，是商代数学的又一个成就。这种方法主要用于历法，可称干支纪年法。天干有10个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干与地支相配，共得60个不同单位——以甲子开始，以癸亥告终。然后又是甲子，如此循环不断。中国农历至今还使用这种方法。

三、春秋战国时代的数学

春秋战国时代，中国正经历着由奴隶社会到封建社会的巨大变革，学术思想十分活跃。这一时期形成的诸子百家，对科学文化影响极大。数学园地更是生机盎然，朝气勃勃。

值得注意的是，人们在商代甲骨文和西周金文的基础上，逐渐懂得把字写在竹片（或木片）上，用绳子穿成册，这就是早期的书。写上字的竹片称为简，或竹简。春秋战国的大批数学成果，便是通过竹简流传下来的。

1．几何与逻辑

《墨经》中讨论的几何概念可以看作数学理论研究在中国的最初尝试。《墨经》是以墨翟为首的墨家学派的著作，包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题。它试图把形式逻辑用于几何研究，这是该书的显著特色。在这一点上，它同欧几里得《几何原本》相似，一些几何定义也与《原本》中的定义等价。下面略举几例：

（1）“平，同高也”——两线间高相等，叫平。这实际是平行线的定义。

（2）“同长，以正相尽也”——如果两条线段重合，就叫同长。

（3）“中，同长也”——到线段两端的距离相同的点叫中（点）。

（4）“圆，一中同长也”——到一个中心距离相同的图形叫圆。

《墨经》中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义，这些图形的名称分别为端、尺、区。在研究线的过程中，墨家明确给出“有穷”及“无穷”的定义：“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。”即：用线段去量一个区域，若能达到距边缘不足一线的程度，叫有穷；若永远达不到这种程度，叫无穷。

《墨经》中还有一条重要记载：“小故，有之不必然，无之必不然。大故，有之必然。”用现代语言说，大故是“充分条件”而小故则是“必要条件。”大故和小故的区分，在哲学史和数学史上都是十分重要的事件。可惜的是，随着墨家的衰落，墨家数学理论在形成体系之前便夭折了。

2．算术

到公元前四、五世纪时，分数已在中国广泛应用了。春秋战国时代，“九九歌”已是家喻户晓的常识了。《管子》等书中便记载着九九歌诀，顺序与今不同，是从“九九八十一”起，到“一一如一”止。至于改为“一一如一”到“九九八十一”的顺序，则是宋元时代的事情了。

3．对数学中“无限”的认识

有限与无限的矛盾，是数学中的一对基本矛盾。对这一问题认识的不断深化，推动着古今数学的发展。

据战国时成书的《庄子》记载，惠施曾提出“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一"的观点。其中“大一"、“小一"可理解为无穷大，无穷小。这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷小。书中“一尺之棰，日取其半，万世不竭"的著名命题，可以看作是对“小一"的发挥。一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去。

同《庄子》一样，《墨经》中也讨论了分割物体的问题。但墨家反对物质的无限可分。他们认为，如果把一条线段分成前后两半（比如以左为前，以右为后），保留前半而弃去后半，再弃去前半的后半，如此不断地分割和取舍，剩余部分小到不能再分为两半，就是端。如果采用前后取的办法，即第一次取线段前半，第二次取前半的后半，第三次取后半的前半……取到最后，也会出现一个不可分割的端，这个端在线段中间而不在边缘，这就是《墨经》所云“前则中无为半，犹端也；前后取，则端中也”。很明显，这种思想与近代极限理论是相符的。数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似。所以，我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏形，其中蕴含着“点是线段无限分割之极限”的思想。

4．组合数学的萌芽

组合数学虽是现代数学的分支，它的思想却可以追溯到遥远的古代。春秋时期成书的《易经》便含有组合数学的萌芽。

《易经》是中国最古老的书籍之一，书中通过阴阳卦爻预言吉凶。“——”是阳爻，“?”是阴爻，合称“两仪”。每次取两个，按不同顺序排列，生成“四象”；每次取三个，生成八卦；每次取六个，则生成六十四卦。四象、八卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从n种元素中每次取r个，共有nr种排列法。例如，在两种卦爻中每次取3个，这就是八卦。

德国数学家莱布尼茨发明二进制后不久，见到了传教士白晋从中国寄去的八卦。莱布尼茨认为，八卦中蕴含着二进制思想，因此惊叹不已。实际上，若把“——”和“?”两种卦爻用1和0代替，八卦就可表示为：

000（坤）　001（震）　010（坎）　011（兑）

100（艮）　101（离）　110（巽）　111（乾）

莱布尼茨说八卦是“流传于宇宙的科学中最古老的纪念物”，这项发明“对于中国人民实在是值得庆幸的事情”，并因此产生对中国古代文明的崇敬，他托人把自己亲手制造的手摇计算机送往中国就是最好的明证。

5．早期的数学工具——算筹与规、矩

算筹即用于计算的小竹棍（也有木质、骨质或金属材料的算筹），它是中国人创造的计算工具。春秋战国时代，算筹的使用已相当普遍，书中多有记载，如“孟子持筹而算之”（《十发》），“善计者不用筹策”（《老子》），等等。1954年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒，内装竹棍40根，长短一致，约12厘米，是为算筹之实物。

用筹进行计算称为筹算。据文献记载，筹式有纵横两种：

算筹的摆法是纵横相间，从右到左：个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……遇零则空位。例如2561摆成，308摆成。筹算加减法与今珠算类似，从左到右逐位相加或相减即可。筹算乘除法的步骤稍微复杂一些。二数相乘（如48×36）时，先用筹摆一数于上，一数于下，并使下数的末位和上数首位对齐，按从左到右的顺序用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下二数中间然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位，再以上数第二位乘下数各，入中间的乘积，并去掉上数第二位。直到上数各位用完，中间的数便是结果。筹算除法也分三层，上层是商；中层是被除数，叫实；下层是除数，叫法。

算筹在中国数学史上占有非常重要的地位，在长达两千年的时间里，算筹一直是中国的主要计算工具，直到元明时代才逐渐被珠算所代替。

珠算的优点是简便、灵活，用一些小竹木棍便可进行复杂的计算。它的缺点是中间步骤不能保留，因此不便于检验。另外，过分依赖于算具，也不利于数学的符号化和抽象化。

规、矩是两种测绘工具。规即圆规，矩是直角拐尺，用来画直线形。商代甲骨文中已有规和矩的象形字，所以它们最迟在商代已经出现。春秋战国时期，这两种工具被普遍用于测量和几何作图。

四、周髀算经

《周髀》是西汉初期的一部天文、数学著作。髀是量日影的标杆（亦称表），因书中记载了不少周代的天文知识，故名《周髀》。唐初凤选定数学课本时，取名《周髀算经》。

1．勾股定理

在中国，《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书。该书云：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之。

2．等差数列

《周髀算经》中的“七衡”便是一等差数列。书中给出计算各圆径的一般法则：“欲知次衡径，倍而增内衡之径。二之以增内衡径，得三衡径。次衡放（仿）此。”这相当于给出通项公式：

D_n＝D₁＋（n－1）·2d

其中d为相邻两圆间的距离。

3．内插法

所谓内插法，是已知若干自变量所对应的函数值，求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法，古代常用来推算日、月、五星（即金星、木星、水星、火星、土星）的行度，为制订历法服务。内插分两种——等间距内插和不等间距内插。等间距指的是自变量的间距相等。设自变量x，等间距h，函数关系为f，若函数值之差f（x＋nh）－f（x＋（n－1）h）（即一次差，其中n＝1，2，…）为一不等于0的常数，则用一次内插法；若这些函数值之差的差（即二次差）为一不等于0的常数，则用二次内插法，依此类推。用现代数学的观点来看，n次内插法反映的是n次函数关系。

《周髀算经》中的内插法是最简单的等间距一次内插法。已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影长，推算其他节气的日影长。假定每两个节气的时间间隔相等，并以f（a），f（b）表示夏至及冬至的日影长。其中f（n）是从夏至到冬至的第n个节气的日影长，Δ被称为损益数。

4．相似形与测量术

《周髀算经》中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法。第二、三、四句是相似直角三角形的应用。