巴比伦数学的主要内容

第二节　巴比伦数学的主要内容

巴比伦人和埃及人一样，是首先对数学的萌芽作出贡献的民族，对其原始数学内容的考证，大部分来自近百年来考古研究的结果。

一、记数法与进位制

100多年前，人们发现巴比伦人是用楔形文字来记数的。他们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚硬如石，以便保存下来进行数学知识交流。由于字的形状像楔子，所以人们称为楔形文字。

他们用垂直的楔形来表示1，用末端二个横向楔形表示10。

巴比伦人创建的数的体系与埃及、罗马数字颇为相似。但是，值得我们注意的是巴比伦人已经有了位值的观念，通常为60进制。这种认识的主要根据是地质学家劳夫特斯于1854年在森开莱（现在的拉山或拉莎）发掘出汉穆拉比时代的泥书，上面记载着一串数字，前7个是1，4，9，16，25，36，49，之后中断，而在应该是64的地方，看到的却是1·4，其后接着写出1·21，再后是2·24，直到最后写的是58·1。这个数列只有假定其为60进位时，才能很自然接续，即：

1·4＝60＋4＝64＝8²

1·21＝60＋21＝81＝9²

……

58·1＝58×60＋1＝3481＝59²

应该指出，巴比伦人的位值制有时也不甚明确；因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板书上尚没有发现零号。例如，（5·6·3）可表示5×60²＋6×60＋3＝18363，也可表示5×60¹＋6×60⁰＋3×60^－1＝306，究竟表示什么数，还需根据上下文来分析、确定。

古巴比伦的60进位法之产生年代是相当久远的。但据有的材料记载，早期的苏默人是不知道60进位制的。从他们所用的数学符号中可以看出，大约在公元前3000年以前，大约是用另外的一套符号来记数的。1，10，60的记号是用头部是圆形的木笔刻成，而1和60的记号都是半圆形，只是大小不一样，10的记号是圆形，600的记号是10和60的组合，用大圆来表示。

到了公元前2000年左右，开始使用楔形文字，从此又建立一套数的记号。

二、算术运算

由于巴比伦从1到59的数码都是以1和10或更多一些数的记号为基本记号结合而成的，因此，在此范围内的加减法不过是加上或去掉某种记号罢了。

巴比伦人对整数的乘法，采取了“分乘相加”的方法。例如，某数乘以27，他们先乘20，再乘7，然后把结果相加，最后得出结果。

巴比伦人在做整数除以整数时，采用了乘以倒数的方法，并且还造出了倒数表。

巴比伦人研究了数的平方和开平方、立方和开立方的问题。当方根是整数时，给出了准确的值。对于其他方根，由于采用60进位制，只能是近似值。并造出了简单的平方、平方根、立方、立方根表。

到了希腊时期，著名数学家阿基米德、海伦创造出了平方后比原数小的近似公式。

三、代数

巴比伦人不但具有数系和数字运算的一些知识，他们也具有处理一般代数问题的能力。

巴比伦人求解的各个步骤是符合解方程组的一般方法的，但是，他们没有给出求解的一般公式。

在巴比伦人利用楔形文字撰写的原典中，也有解一元二次方程的例子。

巴比伦人在汉穆拉比时代已经掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算术方法求解。巴比伦人对简单的三次和四次方程也求解过。

四、几何

在古巴比伦时期，常常把几何问题化为代数问题来解决。在他们心目中，几何似乎不占有重要位置。但是，在20世纪中叶布尔昂博士和鲁达撰写的《斯萨数学书》中，指出了在斯萨出土的古巴比伦的楔形文字原典中，含有求正多边形和圆的面积的近似公式，说明古巴比伦人对几何问题也有一定的兴趣。

例如，在拉尔萨出土的古巴比伦原典中，有下面的问题（用现代符号和语言叙述）。

已知底边b＝30的三角形，由平行于底的直线把其分成两部分，即高分别为h₁、h₂的梯形F₁和三角形F₂，且面积F₁－F₂＝S＝7．0，h₂－h₁＝h＝20，求割线长x。

由以上条件，可建立如下关系式：

h₂∶h₁＝x∶（b－x）

成立。

根据以上条件，可解出x。

由上可知，巴比伦人建立的关于x，h₁，h₂的关系式是正确的。但是，还没有理由（证据）说明以上是一种纯粹代数的推演。数学史家尤伯尔做了如下解释：

如果在三角形一边加一个长为h₁＋h₂的长方形，拼成一个上、下底边长分别为c和a＝c＋b的梯形，延长割线x，把此梯形分成两部分，其面积差为：

（F₁－F₂）－c（h₂－h₁）＝s－ch

按照尤伯尔的解释，以上的解法思路是几何学的思想，而不是代数的。

巴比伦人很早就知道毕达哥拉斯定理（勾股定理），并能应用此定理解决具体的比较简单的问题，在古巴比伦的数学原典中有记载，并使用了1500年之久，直到赛莱乌科斯王朝时代以后的著作中，仍有记载。

巴比伦人也会求棱柱、圆柱、棱台、圆台的体积，他们用高乘以两底面积和的一半的方法进行计算。

五、数论

巴比伦人不仅在代数中的工作显得很出色，在算术中，也不断推广研究范围，在《楔形文字的数学书》中，也记载了一些关于初等数论的内容，有人认为，希腊的毕达哥拉斯学派继承和发展了古巴比伦人的工作。

巴比伦人能够求出简单的级数和。例如，可求出公比为2的等比级数的和

1＋2＋4＋……＋2⁹＝2⁹＋（2⁹－1）＝2¹⁰－1

巴比伦人的代数中，也含有一些数论。他们求出了好几组毕达哥拉斯三元数组，还求出了x²＋y²＝2z²的整数解。