逻辑推理规则

第四节　逻辑推理规则

推理是从一个或几个已知判断推出一个新判断的思维形式。推理规则的实质是判断间的逻辑关系，在数学中，判断是以命题形式给出。因此，研究命题运算及其运算规律是十分必要的，这有助于揭示推理过程的本质。

一、命题及其基本形式

命题是表示判断的语句。直接判定，有条件断定和有选择性断定相应于不同形式的判断，命题可分为直言命题，假言命题和选言命题。

例如：

直言命题：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

假言命题：如果平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

选言命题：若x²－3x＋2＞0，则x＞2或x＜1。

二、数学命题的4种形式

数学命题一般都表示为假言命题“若p则q”。由此命题可以构出另外3种命题形式。

（1）若q则p；

（2）若非p则非q；

（3）若非q则非p。

我们将构出的命题（1），（2），（3）分别称为命题“若p则q”的逆命题，否命题和逆否命题，而命题“若p则q”被称为原命题。

这4种命题之间有着内在联系，特别是原命题与其逆否命题同真或同假，原命题的逆命题与否命题同真或同假。

三、基本逻辑联结词

为了把命题符号化，形式化，在逻辑学中使用了以下5种基本逻辑联结词：（1）否定（非），（2）合取（与），（3）析取（或），（4）蕴涵（如果…那么…），（5）等价。

四、复合命题及其真假值

1.复合命题和简单命题

命题可分为简单命题和复合命题，由逻辑联结词联结而构成的命题称为复合命题，没有逻辑联结词的命题称为简单命题。

2.逻辑运算的顺序

如果我们把逻辑联结词看作代数运算符号，那么复合命题可以看作命题运算，如同代数运算一样，对于5种运算，在逻辑学中，规定了它们的运算顺序。如果要改变其中的运算顺序，必须象代数运算一样，添加括号。但也有省略括号的约定。

3.复合命题的真假值

一个复合命题的真假值，决定于构成这个命题的各个简单命题的真假值。求一个复合命题的真假值，可以根据基本命题的真值表和命题运算顺序，列出它的真值表来确定它的真假值。如果不管构成复合命题中的简单命题取真值或假值，这个命题都取真值，这样的复合命题称为恒真命题。相类似地可以定义恒假命题。

五、逻辑等价

为了使命题运算像代数运算一样顺利进行，必须引进等量关系。逻辑学中的等量关系就是逻辑等价关系。

如果两个命题p和q的真值表相同，那么称命题p与q逻辑等价。记为p≡g。

逻辑等价关系具有一般等价关系的三性：自反性，对称性，传递性。

引进了命题的逻辑等价，使得在逻辑推理过程中，两个逻辑等价命题可以互相代换，这种逻辑等价代换方法称为逻辑等价变换，运用逻辑等价变换可以将一个复杂命题的逻辑式化简为与之等价的较简的逻辑式，这种化简过程就是命题运算。