数学能力及其培养

第一节　数学能力及其培养

一、数学能力的概念

（一）能力的含义

所谓能力是指人顺利完成某种活动的一种个性心理特征。对于能力的理解，主要的是在以下几个方面：

1．能力是在心理活动中表现出来的。例如，人们在思维活动中表现出思维能力水平，人们在想象活动中表现出想象能力，等等。

2．能力是在从事某种活动中表现出来的。例如，人们在从事社会活动中，表现出组织能力，人们在音乐活动中，表现出音乐能力，等等。

3．能力是一种个性心理特征。个性心理特征包括气质、性格、能力等，说明能力是个性心理特征中的一种。因此能力是一种个性心理特征，但个性心理特征不一定是能力。

4．能力是由多种形式构成的。例如，能力有思维能力，观察能力，记忆能力，等等。

不同的能力在不同的活动中起着不同的作用。有时，从事一种实际活动需要多种能力的综合作用。例如，在数学解题活动中，不仅需要观察能力，还需要思维力、记忆力等。

（二）能力与知识、技能的关系

能力是对个体已有的知识的应用。能力是技能训练中形成的一种个体稳定性的个性心理特征。知识、技能是能力的源泉与基础。能力的形成与发展是在掌握和选用知识、技能的过程中实现的。反过来，一定的能力是进一步获取知识和形成技能的前提。今天，我们既要重视知识学习、技能训练，又要重视能力的培养。只有把两者的学习与培养统一起来，才能使我们的学习达到最佳效果。

（三）数学能力

数学能力是保证数学活动顺利进行的个性心理特征。

曹才翰先生在《中学数学教学概论》中提出数学能力有两种不同层次或两种不同类型：学习数学的数学能力和“创造性”的数学能力。“所谓学习数学的数学能力就是在学习（学会、掌握）数学（数学课程的数学）的过程中，迅速而成功地掌握适当知识和技能的能力；所谓“创造性”的数学能力是在数学科学活动中的能力，这种能力产生具有社会价值的新成果或新成就。”他在介绍了这两种能力的不同观点后指出：“这两种能力都是在创造性的数学活动中形成和发展起来的，因此它们具有相同的本质。但是由于形成这两种数学能力的实际活动分别属于不同的层次，因此它们也有区别。同时，在一定条件下，学习数学的能力可以发展成为创造性的数学能力，而且要具备创造性数学能力，必须首先具备较强的学习数学能力。”

从上述的观点来看，数学能力有数学学习的数学能力与创造性的数学能力。它们之间又有联系，又有区别。学习数学的数学能力是创造性的数学能力的第一阶段，而创造性数学能力是数学学习的数学能力的发展。两种数学能力只是水平与程度上的不同，而没有质的差异性。

在数学学习中，大部分应是数学学习的数学能力，只有少部分算得上创造性的数学能力。所以在数学学习中所培养起来的数学能力是为创造性的数学能力打下基础。可以认为，数学学习中，我们主要是培养数学学习的数学能力。

（四）数学能力结构

这里我们认为以下三种数学能力结构理论是可资参考的：

1．克鲁捷茨基在《中小学生数学能力心理学》中提出数学能力的组成有下列几个因素：

1）使数学材料形式化的能力，即从内容中抽出形式，从具体的数量关系和空间形式中进行抽象，以及运用形式结构即关系和联系的结构进行运算的能力；

2）概括数学材料的能力，即从不相关的材料中抽出最重要的东西，以及从外表不同的材料中看出共同点的能力；

3）运用数学和其他符号进行运算的能力；

4）“连续而有节奏的逻辑推理”的能力，这和具体化与演绎化的需要有关；

5）缩短推理过程的能力，即用缩短了的结构进行思维的能力；

6）逆转心理过程的能力（从正方向思维转到逆方向思维）；

7）思维的灵活性——从一种心理运算转向另一种心理运算的能力，从平凡而陈腐的影响束缚下解脱出来的能力。这种思维品质对数学家的创造性活动是很重要的；

8）数学记忆。它和数学科学的特点有关。主要是指对概括内容、形式化结构和逻辑模式的记忆；

9）空间概念的能力。这与数学的一些分支如几何（尤其是立体几何）有着直接关系。

克鲁捷茨基关于数学能力结构的表述，到目前为止是比较详尽的一种。它对数学能力的观点是从数学的具体实际出发，具有很好的参考价值。

2．我国数学教育界长期以来认为数学能力结构由一般能力与特殊能力组成。一般能力指观察能力、记忆能力、思维能力、想象能力、注意能力。特殊能力指运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。

运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力合称“三大能力”，是数学能力的核心。目前，人们认识到逻辑思维能力是数学思维能力的一个部分，思维能力还有非逻辑思维能力，所以把逻辑思维能力改成思维能力更为恰当。

无论上述的哪一种观点，都认为数学能力是群因素理论的具体体现。数学能力不是简单的一个因素，而是多种因素的组合。这些因素的形成与发展只能通过数学学习过程，通过数学活动来实现。

二、数学能力的培养

数学能力主要是指数学学习能力。数学学习能力是完成数学学习的必要条件，同时，它在数学学习过程中还会得到发展与提高。学生有目的、有计划地培养自己数学能力是提高数学学习水平的重要任务。数学学习除了学习数学知识，还要提高数学能力，这已被广大数学教育工作者所共识。

数学能力是多种能力的复合体。在上节内容中已经明确了数学的三大特殊能力，它们是运算能力、思维能力和空间想象能力。除此之外，数学能力还有：注意力、观察力、记忆力，等等。

学生数学能力要提高，就是要提高数学的各种能力。这些能力虽各自独立，但它们又相互联系，相互影响。因此，学生培养提高能力的过程不是孤立的，而是互相联系的。为了说明方便，下面分别对各种能力加以说明。

（一）提高观察能力

观察在数学学习中是很重要的活动。观察能力主要表现为观察力的品质上。学生培养观察能力，就是培养观察力的品质。它们主要是：

1．观察的目的性

目的性是数学观察活动的本质特征。没有目的的感知就算不上观察。因此，目的性是区分感知与观察的标志之一。

在数学学习中，观察的目的性表现为以下几方面：明确观察对象、要求、步骤、方法。为此，在数学观察时，要养成观察的目的意识，也就是说，要养成观察的稳定目标，而不受其他刺激的干扰的习惯。

定在这个恒等式中对数底数上。通过观察，得知每个分式的分子、分母中的对数底数相同，而不同的分式表现出分子、分母中的对数底数的不同。

通过观察加工（或理解）后，得到这个恒等式实际上是对数换底公式的变形。

又如，对二次函数y＝（x－2）²＋3的观察时，观察的着眼点放在－2与3上。

观察的目的性受到学生的原认知结构的影响，正是由于原认知结构中有二次函数图像的移动规律，它决定了观察的着眼点。学生原认知结构引导着学生在观察时确立起观察的目标与方向。

观察的经验（它也是认知结构）也会引导观察目标。例如，要观察一个图形中两个角相等，而又知道有些角相等的情况下，往往经验会引导去观察图形中的“四点共圆”目标。

2．观察的条理性

数学学习中对数学对象的观察往往不是轻而易举地就能达到目的的。在这种情况下，学习者就不能漫无边际地，杂乱无章地进行观察，而应逐步养成观察的条理性。例如，分门别类地观察，或注重对象间联系进行观察，或从特征上进行观察，等等。

这种观察就是一种有条不紊的过程，是一种循序渐进的过程，是按部就班的过程。

3．观察的敏锐性

观察的敏锐性就是指在观察过程中能够很快地发现被观察对象的特点，或容易发现别人不易发现或易于忽略的东西。许多发明家、科学家的可贵之处就在于此。牛顿观察苹果坠地这种司空见惯的现象而发现了万有引力定律。这是观察敏锐性的表现。

斐波那契结合“兔子繁殖”问题：兔子出生后两个月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄）。假如养了初生的小兔一对，试问一年以后共可有多少对兔子（如果生下的小兔都不死的话）？对数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…的观察，发现许多属于这一数列的性质。这也是由于观察敏锐性的表现。

在分解因式中，也很需要学习者的敏锐观察力。例如，把x²＋8x＋15分解因式，马上可以看出原式＝（x＋3）（x＋5）。又如，观察x³＋6x²＋11x＋6，马上看出应通过拆项，得

原式＝x³＋6x²－x＋12x＋6

　　＝（x³－x）＋（6x²＋12x＋6）

　　＝x（x²－1）＋6（x²＋2x＋1）

　　＝x（x＋1）（x－1）＋6（x＋1）²

　　＝（x＋1）［x（x－1）＋6（x＋1）］

　　＝（x＋1）（x²＋5x＋6）

　　＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）。

4．观察的精确性

观察的精确性表现为对被观察对象的隐含因素的觉察和发现，以及对被观察对象的性质间的细微的差异的发现等的品质。

例如，通过观察很快发现：

在数学学习中，重视观察品质的培养，从实质上就是对观察能力的培养。良好的观察力是使学习者学好数学的基本条件，也是激发学习者的数学探索精神。良好的观察力是引发数学发现的源泉。提高观察力就要像巴甫洛夫所提倡的“观察，观察，再观察”那样，在观察活动中提高观察的品质。因此，提高观察品质是培养观察能力的途径。

（二）提高运算能力

数学运算贯穿于数学学习的全过程。数学学习过程的任何方面也有数学运算的参与。小学数学学习中重点运算是数的四则运算，它包括整数、分数、小数的四则运算。中学数学学习中，重点运算是代数式、超越式等的运算。此外，也还有数的运算（它主要有有理数、实数、复数运算）、集合的运算、极限的运算、微分、积分运算等等。

数学学习过程中的运算是一个不断抽象的过程。从数的运算，到式的运算；从式的运算，到集的运算；……都是一个不断抽象的过程。

数学运算从本质上讲是一种对应关系，或是一种特殊的映射。若用结果，可表示为

例如，A＝｛整数｝，B＝｛非零整数｝，C＝｛有理数｝，且a∈A，b∈B，c∈C，有解，到有理数集的一个代数运算。

又如，a，b∈A（整数集），且c∈A，有结果仍在整数集上。

更一般地说，几何变换也可以作为运算对象。如平面上的一个旋转变换f^θ，把平面上每一点P（rcosα，rsinα）变换成f^θ（P）［rcos（α＋θ），rsin（α＋θ）］。在旋转变换集合F上，可以定义旋转变换的乘法运算：f^θ1·f^θ2＝。

数学运算能力就是指学生在运算活动中，灵活、合理、简捷、正确地完成运算任务的个性心理特征。数学运算能力取决于运算的效率性、合理性、灵活性、简捷性与正确性。

数学运算能力是一种综合因素的复合体。运算能力的培养与提高要与数学的其他能力相互联系、相互渗透。例如，在数学运算能力中渗透着观察力、注意力、思维力、想象力、表达力等多种因素。另一方面，数学运算能力是有高低层次的。如果数的运算与式的运算相比，式的运算就比数的运算更抽象、更复杂。因此，数学运算能力的培养一定要结合上述的运算特点和规律进行。苏霍姆林斯基说：“我们对学生运算的要求，不仅在于正确，还要训练学生思维的简捷和合理。”培养运算能力，要在运算的正确性、简捷性、合理性、灵活性等方面下工夫，即在运算品质上下工夫。

学生为了提高运算能力，必须注意在以下几方面上发展：

1．要理解与掌握各种与运算有关的概念、性质、公式、法则、算律。

2．要记住一些必要的和常用的数据。

3．要具备熟练的计算技巧。

4．要具备良好的推理能力。

5．要具备良好的心理素质，特别是顽强的毅力、精益求精的态度。

学生运算能力的提高是一个综合过程，为了叙述方便，我们从以下几方面来加以说明。

1．灵活性

解法：

两边平方，得

x²＝2

可以看出，解法一是一种常规的运算，而解法二是一种非常规的运算。而运用非常规的运算，需要运算的灵活性。

运算的灵活性不仅与学生认知结构有关，与思维的灵活性也有很大关系。另外，对运算对象的观察的深刻性也会导致运算的灵活性。因此，要培养运算的灵活性，就要在其他方面下工夫。这就是灵活性表现在运算之中，功夫在运算之外。

2．简捷性

运算的简捷性即是表现运算过程简捷迅速。这同样需要思维的灵活性与观察的深刻性。

此式的化简，如果从原式出发，把x的表达式代入原式之中，计算起来既麻烦，又冗长。按上面方法用x表达a，一下子使原式的化简简单化了，从而使化简的步骤大大缩短了。这是使运算简捷的很典型例子。

在化简过程中，关键在于运算者对条件与结论间的关系的深刻性观从而使原式很顺利地利用指数特殊性而简捷地得出结果。

3．合理性运算的合理性是指运算过程要符合运算律的要求等的特性

例如，计算53721²－53720×53722。合理性的计算应是：

原式＝53721²－（53721－1）（53721＋1）

　　＝53721²－（537212－1）

　　＝1

不合理的计算则是分别对537212与53720×53722进行计算后再减。

合理性的运算实际上是寻找一种优化的算法，使算法简便，并且能直接地达到目的。

例如，求1＋2＋3＋…＋99＋100。

选择（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝5050的算法既合理，又简捷。这是高水平运算的典型例子。

4．准确性

运算的准确性是运算的首要要求。没有准确性，就没有运算能力可言。因此，提高运算能力，准确性是运算能力的必要条件。

运算的准确性就是表现在运算过程中不出错。它也需要多方面因素错误，等等。

要使运算达到准确，不仅要在数式运算方面达到熟练程度，还要有数学各种能力的配合，只有从全方位上提高，才能使数学运算能力训练达到预期的目的。

（三）提高思维能力

前面已经较详尽地阐述了数学思维以及数学思维品质的问题。实际上，在那里，已经涉及了思维能力的提高。这里再作如下补充：

1．在思维中加强思维监控

思维监控就是对思维过程的自我意识和自我控制。在第一章第一节中谈到了元认知问题，包括元认知知识、元认知体验和元认知监控。元认知监控就是学习者对自己的认知活动或过程进行调节、控制，使其达到认知目标。用元认知监控思想来解释思维监控是恰当的，因为思维是认知的一个核心部分。思维监控具体表现为数学观念、思想、方法、策略等方面。它们在数学思维过程中起到调节、控制、监督作用。学生在数学学习中，努力去建立数学观念、思想、方法和策略，必然地会提高数学思维品质，进而达到提高数学思维的目的。

2．数学学习中要重视创造性思维能力的培养

当今时代是科技高速发展的时代。我国的改革开放在不断深入，对未来一代的建设人才的要求越来越高，也就是学生在数学学习中不仅要掌握丰富的数学知识，而且还要使自己成为具有开拓性、独创性、探索性的人才，这就需要重视创造性思维能力的培养。

创造性思维即具有创新性的思维，是思维的最高形式。数学学习中学生不但要提高逻辑思维、非逻辑思维能力，培养问题解决能力，还有必要培养创造性思维能力。

吉尔福特认为，发散思维是创造性思维的一个重要指标。在数学思维活动中，应有意识地进行思维的发散性训练。

想象、联想、猜想也是创造性思维的重要途径，因此在思维过程中也要加强上述方面的训练，使思维产生具有新颖性的结果。

创造性思维在当今时代更显其重要意义。同时，创造性思维能力的提高必然也带动了数学思维水平的提高，而且使数学思维水平的发展可以达到更高的境界。

在创造性思维的培养上，托兰斯作过研究，并于1965年提出鼓励学生创造性思维的五条原则：（引自邵瑞珍主编《教育心理学》，上海教育出版社，1988年版，P168）

（1）尊重与众不同的疑问；

（2）尊重与众不同的观念；

（3）向学生证明他的观念是有价值的；

（4）给予不计其数的学习的机会；

（5）使评价与前因后果联系起来。

1973年托兰斯根据为“创造性教育的可能性提供信息”而进行的综合研究，得出这样的结论：最成功的做法乃是必须使认知功能与情感功能都充分发挥作用，提供适当的结构与动机，并给予积极参加、实践，以及和教师、同学相互接触交流的机会。

有的学生在解题过程中会通过实践形成一些独辟蹊径的做法，这是培养创造性思维的极好途径。

一般情况下，求直角三角形的面积，首先得知道两条直角边，或根据已知条件先求出两条直角边，而后再求其面积。

然而，有的学生在解这道题时用的是非常规解法。

非常规解法是创造性思维的具体表现。

目前，我国教育工作者和有识之士开始重视学生的创造性思维的培养问题。“为创造性而教”，已成为许多学校的主要教育目标之一。数学中的创造性思维的培养作为数学学习的任务，已越来越被人认识。它必将促进和带动数学思维能力的培养。

（四）提高空间想象能力

空间想象能力就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象的思维能力。它是数学学习的重要目的之一。著名的数学家、前苏联A．H．柯尔莫戈罗夫院士在谈到数学空间想象力时说：“在只要有可能的地方，数学家总是力求把他们研究的问题尽量地变成可借用的几何直观问题。……几何想象，或如同平常人们所说‘几何直觉’对于几乎所有数学分科的研究工作，甚至对于最抽象的工作，有着重大的意义。在中学，空间形状的直观想象是特别困难的一件事。例如，如果能闭上眼睛，不用图形就能清楚地想象一个正方体被一个穿过正方体中心又垂直于它的一条对角线的平面所截得的图形是什么样，这该算是个很好的数学家（相对于一般中学水平而言）。”（引自曹才翰编著：《中学数学教学概论》，北京师范大学出版社，1990年版，P81）。

数学的空间想象能力是一种特殊的想象能力，它遵循一般想象能力规律。数学的空间想象能力表现为“再造想象”与“创造想象”两种能力。所谓再造想象，就是依照词的描述或根据图样、模型、符号等的描绘在人脑中产生新形象的心理过程。比如，一些几何题目所叙述的图形，解题者通过读题而在头脑中产生的一个新的形象就是再造想象。前面的柯尔莫戈罗夫院士所描述的正方体被一平面所截的状况，在人的脑中所产生的形象就是再造想象。所谓创造想象，就是根据一定目的、任务，独立地创造出新事物映象的心理过程。比如，学生为学习之需而想象出一种新的形象，这种形象是学生通过思维而在头脑中独创出来的。这就是创造想象。数学的空间想象能力主要是表现为再造想象能力方面，在数学学习中尤其如此。

学生的数学的空间想象能力具体地表现为：

1．根据语词描述，能较熟练地在头脑中产生空间的图形（中学数学中主要是二维和三维空间图形）。

2．能把头脑中所想象的空间图形表现在纸上，形成直观的图形。

3．能够依据文字或语言的描述，抽象出空间图形中元素间的各种关系。

4．能够利用再造想象进行分析和加工。

5．特殊情况下，为数学学习需要，自己能创造出数学的空间某种形象。

数学学习过程中，主要是在几何学习中要加强空间想象能力的培养。它主要是从以下几方面来实现：

1．多观察

观察几何图形有利于形成空间观念。

例如，数出三角形的个数这种题型。通过这种类型的训练，可以促进空间想象力的发展。

又如，通过六角螺母、正方体等的观察（观察它们中的面与面、线与线的关系），也有利于促进空间想象力的发展。

分长边的EF、GH线段折成一个三棱柱，这样原长方形的对角线就是绕在三棱柱侧面上的一条折线ANMD，试求这条折线相邻两段所成的角。

通过观察，能发现折线在空间中的位置，并且通过线段间的关系的计算，得出∠ANM与∠NMD均为直角。这个例子可以使平面上的线转变成空间中的线（空间折线），给对空间线的位置关系的观察提供了很好机会。它对于培养空间想象力是有利的。

2．多画图

通过画图实践，能够对空间图形间的关系，线线关系、线面关系、面面关系有一个感性认识。画图往往是根据文字表述来画，这个过程实际上是再造想象过程。比如，画出沿三角形一条中线把由该中线所分得的三角形的两部分所在的平面成互相垂直的空间图形。学生就要在头脑中再造想象这一空间图形的映象，并且能通过平面上的图形表示出来。

3．多想

多想不但通过观察具体图形来想，而且通过文字表述来想。这种想是再现图形表象的过程，是对表象的再加工过程，是培养空间想象的很好途径。

上述的几方面体现了学生在培养空间想象力过程中的认知活动。一方面，通过观察图形、模型，形成表象，它是学习者对形体认知的内化过程；另一方面，通过画图，是学习者表象的外化过程。在多想中，实际上是对表象的加工过程。这一系列过程都是为再造想象积蓄条件，为培养数学空间想象力进行着必要的训练。