组合体形投影图的读法

10.3　组合体形投影图的读法

读图是画图的逆过程，是根据组合体的多面投影图想象其空间形状的过程。读图不仅在工程上有重要作用，随着读图能力的提高，还有利于更好地画图。读图是工程技术人员必须掌握的知识。在掌握读图方法的同时，要求特别熟悉各种位置直线、平面及基本形体的投影特征。这是读图的基本知识。

读图的基本方法与画图方法类似，也是采用形体分析法，一般从反映形体形状的正面投影图出发，根据投影图的特点将组合体分为几个基本形体，对照其他投影图，将各基本形体的空间形状想象出来，再分析各个基本形体之间的组合方式与相对位置，从而正确地得出组合体的形状。对一些比较复杂的组合体投影图的局部，还要采用线面分析法，通过分析面的形状、面的相对位置以及面与面的交线等来帮助想象出物体的形状。

10.3.1　读图的基本要领

1.将几个投影图联系起来读

由正投影理论可知，形体的一个投影图或两个投影图有着形状的不确定性，每个投影图只能表达形体一个方面的形状，它不能确定形体的全部形状，故其形状应由几个投影图来表达。因此，读图时要将几个投影图联系起来。

如图10－8所示的五个组合体的H投影相同，但V投影不同，这五组投影图表达了五个不同的组合体。

图10－8　H投影图相同的不同组合体

如图10－9所示的五个组合体的V投影相同，但H投影不同，这五组投影图也表达了五个不同的组合体。

图10－9　V投影图相同的不同组合体

如图10－10所示的三个组合体的H、V投影相同，但W投影不同，这三组投影图也表达了三个不同的组合体。

图10－10　H、V投影图相同的不同组合体

由此可见，只知道组合体的一个投影图，有时甚至知道两个投影图也不能完全确定组合体的唯一形状。

2.抓住形状特征投影来构思形体的形状

同一形体在不同的投射方向上，可画出不同的投影图。对所有投影图而言，总有某个方向能最清楚地表示出组合体某个组成部分的形状特征，如圆柱的形状特征投影是圆，三棱柱的形状特征投影为三角形等。若能抓住形状特征投影，根据其构思出形状的几种可能，再对照其他投影图，最终得出物体的正确形状。

通常V投影图最能反映形体的形状特征，因而一般情况下，应该从V投影图入手，但是，组合体的所有组成部分的特征投影不一定全部在V投影图上。如图10－11所示，底板Ⅰ在H投影图中反映其形状特征，背板Ⅱ在V投影图中反映其形状特征，斜撑Ⅲ在W投影图中反映其形状特征。读图过程中，先根据这些形状特征作设想，然后把这种设想在其他投影图上作验证，如果验证不出现矛盾，则设想成立；否则再作另一设想，直到想象出来的物体形状与已知的投影图完全相符为止。

图10－11　组合体的形状特征投影

3.明确投影图中线段和线框的含义

形体的投影图往往是由线段和线框所构成，读图时应根据投影原理和三投影关系，正确分析投影图中的每条图线、每个线框所表示的投影含义。

（1）投影图中的每一条线段可能具有如下的含义。

①平面或曲面的积聚投影：图10－12（a）的H投影图中的线段a、b、c表示平面A、B、C的H面积聚投影；V投影图中的线段d′、e′表示平面D、E的V面积聚投影；W投影图中的线段c″、d″、e″表示平面C、D、E的W面积聚投影。

②两个面（两平面、两曲面或平面与曲面）相交的交线的投影：图10－12（a）的V投影图中的线段f′、g′分别表示两铅垂面A与B相交及铅垂面B与正平面C相交的交线的V投影；W投影图中的线段f″表示两铅垂面A与B相交的交线的W投影。

③曲面转向轮廓线的投影：图10－12（a）的V投影图中的线段i′、j′、k′、l′分别表示圆柱及圆锥台在V面投影方向上的转向轮廓素线的投影。

④回转体轴线或对称图形中心线的投影：图10－12（a）的H投影图中的线段n、o分别表示圆柱及圆锥台底圆中心线的H投影；V投影图中的线段m′及W投影图中的线段m″分别表示圆柱轴线的V及W投影。

图10－12　投影图中图线的含义

（2）投影图中的每一个封闭的线框一般是形体表面的投影，可能具有如下的含义。

①平面的投影：可能是实形投影也可能是相仿投影，它在其他投影图上的对应投影要么是一条直线段，要么是同边数的线框；图10－13（a）的H投影图中的封闭线框3、5表示水平面Ⅲ、Ⅴ的H面实形投影；V投影图中的封闭线框1′、6′表示正平面Ⅰ、Ⅵ的V面实形投影；W投影图中的线段2″、4″表示侧平面Ⅱ、Ⅳ的W面实形投影；H、V投影图中的封闭线框7、7′分别表示侧垂面Ⅶ的H面、V面的相仿投影。

②曲面的投影：图10－13（a）的V投影图的封闭线框9′表示组合体底板的左前方圆柱通孔的圆柱面的V面投影。

③平面与曲面相切所组成的组合表面的投影：当平面平滑过渡到曲面时，由于它们之间没有分界线，组合表面的周边将形成一个封闭的线框；图10－13（a）的H、W投影图的封闭线框8、8″分别表示平面与圆柱面相切所组成的组合表面Ⅷ的H面、W面的投影。

④形体上通孔的投影：图10－13（a）的H投影图的封闭线框10表示组合体底板的左前方圆柱通孔的V面投影。

图10－13　投影图中线框的含义

4.明确相邻线框的关系

（1）投影图中任何相邻的封闭线框，可能是两个平行面的投影，也可能是两个相交的表面（两平面、两曲面或平面与曲面）的投影。图10－14（a）的H投影图的相邻封闭线框a与b为两水平面A与B的H面投影，V投影图的相邻封闭线框c′与d′为两正平面C与D的V面投影；图10－14（a）的V投影图的相邻封闭线框e′与c′、c′与f′分别为两相交面E与C、C与F的V面投影，W投影图的相邻封闭线框g″与e″为两相交面G与E的W面投影。

（2）投影图中两相邻线框的分界线可能是第三表面的积聚投影，也可能是两表面交线的投影。图10－14（a）的H投影图两相邻线框a与b的分界线e、c、f分别为第三表面E、C、F的H面积聚投影，V投影图两相邻线框e′、c′、f′与d′的分界线b′为第三表面B的V面积聚投影；V投影图两相邻线框e′与c′、c′与f′的分界线h′、i′分别为两相交面E与C、C与F的交线H、I的V面投影。

图10－14　相邻线框的含义

（3）一封闭线框中包含另一封闭线框，可能是凸起的表面的投影，也可能是凹进去的表面的投影，还有可能是通孔的投影。图10－15（a）的V投影图1′线框包含2′、3′线框，其中2′线框表示凸起的三棱柱的V面投影，3′线框表示圆柱通孔的投影；4′线框包含的5′线框，表示凹进去的四棱柱的V面投影。图10－15（a）的H投影图6线框包含7、8线框，分别表示凸起的三棱柱、凹进去的四棱柱的H面投影。

图10－15　相互包含线框的含义

10.3.2　用形体分析法读图

利用形体分析法读图是组合体读图的最基本的方法，其关键是在投影图上将组合体分解成几个基本形体的组成部分，并找出它们相应的各投影。由于空间组合形体的封闭性，不论形状如何，其各投影轮廓线总是封闭的线框，而组合体的每一基本组成部分，其投影轮廓线也是封闭线框。反之，在投影图上的每一封闭线框也一定是组合体或其组成部分的轮廓投影。因此，在组合体的读图时，通常从反映组合体形状特征较多的投影图出发，通过划分线框，初步分析组合体是由几个基本形体构成以及组成的方式；然后按照“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律逐个找出基本形体在其他投影图中的投影，并确定各基本体的形状和相对位置；最后综合想象组合体的整体形状。

下面以图10－16所示组合体的三面投影图为例，说明用形体分析法读图的具体方法与步骤。

1.划分线框，找其余投影

从图10－16（a）可见，该组合体的V面投影图中投影重叠较少，结构关系明确，因而可将它划分为四个封闭的线框a′、b′、c′、d′，然后根据“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律分别找出这些线框在H及W投影图中的对应投影a、b、c、d及a″、b″、c″、d″，如图10－16（b）所示。

2.根据投影，想象形体

划分线框后，根据每一部分的三面投影图，对照各种基本形体的投影特征，想象各组线框所代表的简单形体的空间形状。如线框a、a′、a″所代表的形体为八棱柱的槽形底板A，如图10－16（c）所示；封闭线框b′内还包含另外一个封闭线框，依据前述相互包含线框的含义，再根据b可知，b、b′、b″所代表的形体为凹槽B，是由四棱柱的上部被切割一半圆柱而形成，如图10－16（d）所示；线框c、c′、c″及d、d′、d″所代表的形体为两个相同的三棱柱加劲肋C及D，如图10－16（e）所示。

3.分析投影，确定位置

由投影理论可知，V投影图可反映组合体各组成部分的上下、左右位置，H投影图可反映组合体各组成部分的前后、左右位置，W投影图可反映组合体各组成部分的上下、前后位置。因而在确定了各组线框所表示的简单形体形状后，应根据给出的投影图，分析各简单形体之间的相对位置。如从V投影图可知底板A位于最下方，凹槽B位于底板A的上方中部，加劲肋C及D均位于底板A的上方且分别位于凹槽B的两侧。从H、W投影图均可知，底板A与凹槽B后侧面重合，加劲肋C及D位于凹槽B的中央。

4.综合起来，想象整体

根据以上分析的组合体各组成部分的形状及相对位置，将各组成部分按相对位置组合即为组合体的整体形状，如图10－16（f）所示。

图10－16　用形体分析法读组合体投影图的方法与步骤

5.检查复核，确定整体

最后应根据想象出的组合体整体形状，想象其三面投影图或绘制其三面投影草图，若与所给投影图一致，说明所想象形体的空间整体形状正确，否则还需进行修改完善。

10.3.3　用线面分析法读图

一般情况下，对于构成清晰的组合体，其各组成部分的三面投影很容易找到，适合于采用形体分析法来读图。但是对于局部较为复杂的组合体，它的各组成部分的各面投影不容易找到，或有的线框对应其他投影图上几个投影，这时就必须利用所学点、线、面的投影规律，采用线面分析法来读图。

线面分析法就是把组合体分解为若干个面和线，根据面、线的投影特点逐个确定这些面与线的空间形状和相对位置，从而想象出组合体形状的方法。

必须注意的是，使用形体分析法时将投影图中的封闭线框理解为“体”，而使用线面分析法时将投影图中的封闭线框理解为形体的“面”，一般位置面的对应投影是类似形，特殊位置面的对应投影具有积聚性。

如图10－17（a）所示，该组合体的三面投影图的外轮廓线均为矩形线框，可知其原始基本形体为直四棱柱，再在其上进行切割，下面用线面分析法读图，读懂其细部形状。

1.划分线框，找其余投影

分别将各面投影图中的封闭线框编号，并找出其对应投影，如图10－17（a）所示。

图10－17　用线面分析法读组合体投影图

续图10－17

（1）将正面投影图中封闭线框编号并找出其对应的其余投影：正面投影图中有a′、b′、c′三个封闭线框，由“高平齐”的投影关系可知，a′线框对应的W投影为一竖直线a″，再由“长对正”的投影关系可知，其水平投影为水平线a；按“高平齐”的投影关系，b′线框对应的W投影为一斜线b″，再由“长对正、宽相等”的投影关系可知，其水平投影为封闭线框b；c′线框为六边形，在水平投影图中虽然有c′的类似形f，但不能满足长对正的投影关系，而c′又可见，因而只能对应c，再由c′、c确定c″。

（2）将侧面投影图中的封闭线框编号并找出其对应的其余投影：侧面投影图中有d″、e″两个封闭线框，分别根据投影关系确定其正面投影及水平投影d′、e′及d、e。

（3）将水平投影图中的剩余封闭线框编号并找出其对应的其余投影：水平投影图中还剩余有f一个封闭线框，根据投影关系确定其正面投影及侧面投影f′及f″。

2.根据线框投影，想象面的形状

利用线面分析法时应按投影关系在三面投影图中找出它们之间的一一对应关系：若“一线框的另两个投影为线段”，则表示的面为投影面平行面，如图10－17（a）中的面A、C、D、F；若“一线段的另两个投影为线框”，则表示的面为投影面垂直面，如图10－17（a）中的面B、E；若“一线框另两个投影仍为线框”，则表示的面为一般位置平面。按照分析出来的各组对应投影，对照各种位置平面和直线段的投影性质，可以确定正平面A、侧垂面B、正平面C、侧平面D、正垂面E、水平面F，如图10－17（b）—（g）所示。

3.围合起来想象整体

将分析所得的各个表面，对照投影图中所给定的各面的相对位置，即可围合出形体的形状，如图10－17（h）所示。

4.检查复核，确定整体

最后应根据想象出的组合体整体形状，想象其三面投影图或绘制其三面投影草图，若与所给投影图一致，说明所想象形体的空间整体形状正确，否则还需进行修改完善。

上面虽然分别讲述了两种不同的读图方法，但这只是为了说明两种读图方法的特点，实际上这两种方法并不是截然分开的，它们既相互联系，又相互补充，读图时往往要同时用到两种方法，通常以形体分析法为主，线面分析法为辅，线面分析法主要解决读图中的难点，如斜切面、凹槽等。

10.3.4　组合体读图练习

1.根据组合体的两面投影图，补画第三面投影图

根据组合体的两面投影图补绘第三面投影图（常称“二补三”），是练习读图与画图的一种基本方法。做这种练习时，要根据已知的两个投影，想象出组合体的空间形状，再根据想象出来的空间形状按照投影规律正确画出第三面投影。这种练习包含了由投影图到空间形体，再由空间形体到投影图的思维过程，因此它是提高综合画图能力，培养空间想象能力的一种有效手段。

若所给的两面投影图不能完全地确定形体的形状，则第三面投影也不可能是唯一的，这时可以补绘出可能的几种投影。

【例10－1】　已知组合体的V、W投影图如图10－18（a）所示，试求作其H投影图。

解　（1）读图分析：从图10－18（a）可知，该组合体构成清晰、结构关系明确，可采用形体分析法来分析。从组合体的V面投影图中可以看出它由三部分叠加组成，因而首先将其划分为三个线框a′、b′、c′，分别找出其W投影a″、b″、c″，如图10－18（b）所示；再由各线框的V、W投影依次想象各组线框所代表的基本形体的空间形状、相对位置并分别作出各基本形体的H投影图，线框a、a′表示底面平行于V面的九棱柱，线框b、b′表示底面平行于V面的四棱柱，线框c、c′表示底面平行于V面的三棱柱，如图10－18（c）、（d）、（e）所示；最后，要检查各部分连接处图线是否多余、遗漏或者是否应该改为虚线。通过上述分析，可以综合想象出该组合体的完整形状，如图10－18（f）所示。

（2）作图步骤：具体作图如图10－18（b）、（c）、（d）、（e）、（f）所示。

图10－18　“二补三”练习一

【例10－2】　已知组合体的H、V投影图如图10－19（a）所示，试求作其W投影图。

解　（1）读图分析：从图10－19（a）中可以看出，该组合体是由一五棱柱经多次切割而成，下面用线面分析法分析其表面的构成情况。首先划分线框，找其余投影：V投影图中有a′、b′、c′三个封闭线框，H投影图中有d、e、f三个封闭线框，分别找出其对应的其余投影，另g、g′代表一侧平面的投影，也标示出来，如图10－19（b）所示。接着根据线框的两面投影，分别想象面的空间形状并绘制其W投影：面G、A、D分别为侧平面、铅垂面、正垂面，其在W面的投影为反映实形或相仿形的线框，因而先绘制其W面投影，如图10－19（c）、（d）、（e）所示；面B、C、E、F均为正平面或水平面，其在W面的投影积聚为直线段，想象出其空间形状即可得到完整的组合体空间形状，如图10－19（f）所示。最后，检查所补绘的投影图是否正确，可对一些投影面垂直面进行投影分析。如图10－19（g）中对面D进行分析，面D是正垂面，其水平投影d和侧面投影d′应该是类似图形，其边数、顶点数应完全相同，各边的平行关系也应该相同，从图中可以看出，水平投影d和侧面投影d′是类似图形，符合投影规律，因此，可以判断所补画的H投影图是正确的。组合体的空间形状如图10－19（h）所示。

图10－19　“二补三”练习二

（2）作图步骤：具体作图如图10－19（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。

前面已说明图10－19所示的组合体是由一五棱柱经多次切割而成，因而在绘制其W投影图时，还可以按切割的顺序，逐步画出其W投影图，如图10－20所示。

图10－20　“二补三”练习二的另解

在采用逐步切割的方式补绘组合体第三面投影图时，应先绘出形体未被切割时的平面图，然后按照组合体的形成过程，逐一切割，逐一补绘出相应的第三面投影图，在每切割一部分补画出相应的投影后，都要检查图线是否有多余、遗漏或是应该改为虚线。待检查无误后，再切割下一部分补绘其相应图线。待切割完毕，画出的第三面投影图即为所求。最后，还应检查所补绘的投影图是否正确，同样可对一些异形面进行投影分析，异形面的各投影应该是类似图形，其边数、顶点数应完全相同，各边的平行关系也应该相同。

2.补画三面投影图中所缺的图线

补画三面投影图中所缺的图线（常称“补漏线”或“补缺线”）是练习读图与画图的另一种基本方法。虽然常常给出两面甚至三面已知投影，但各投影图中往往均有遗漏的图线，这就要从给定的不完整的投影图入手，抓住已知形状特征投影作设想，想象组合体的空间形状，然后把这种设想在其他投影图上作验证，如果验证不出现矛盾，则设想成立；否则再作另一设想，直到想象出来的组合体的形状与已知的投影图完全相符为止。最后根据想象出来的组合体的空间形状依照投影规律将其他投影补画完整。

【例10－3】　已知组合体的H、V、W投影图如图10－21（a）所示，试补画出各投影图中的漏线。

解　（1）读图分析：该组合体是由四个基本体（四棱柱）经切割、叠加形成。其背板、底板、侧板等均为带切角的四棱柱（即五棱柱），且均为平齐叠加，背板叠加在底板上且与底板的后表面、左端面平齐；侧板叠加在底板上且与底板的右端面、前表面平齐；侧板的后表面与背板的前表面重合且与背板的右端面、上表面平齐。侧板左侧的五棱柱分别与侧板的左端面、底板的上表面，背板的前表面紧贴。由给出的三面投影图还可看出底板、背板、侧板以及侧板左侧的五棱柱的斜面的投影均只画出一个投影，在其余两个投影图中漏画，应根据投影规律画出这些漏线。该组合体的空间形状如图10－21（d）所示。

（2）作图步骤：具体作图如图10－21（b）、（c）所示。

图10－21　“补漏线”练习一

①补画出底板左前方切角（斜面）的V、W投影；

②补画出背板左上方切角（斜面）的H、W投影；

③补画出侧板上前方切角（斜面）的H、V投影；

④补画出侧板左侧的五棱柱上前方切角（斜面）的H、V投影；

⑤依据想象出来的立体图检查，完成作图。

需要注意的是，无论是“二补三”还是“补缺线”，对简单的组合体，可以在分析想象出其形状后，根据其形状直接补画出所缺的第三面投影或漏线；但对于复杂的组合体则需要逐步进行，每切割或叠加一部分，画出相应的图线后，都要检查是否有图线需要进行修改，待修改完毕后再画下一部分，这样逐步进行，直到得到最终正确的结果。