通向混沌的无果树

通向混沌的无果树

梅对逻辑斯蒂映射的研究，其独特之处在于，他没有用传统方法把非线性项的影响切割出来，当作附加的微小扰动进行局部研究，而是考察非线性系统的整体行为。因为参数μ数值上的变化，反映了非线性程度的变化。所以他不仅在某些参数下用数值迭代的方法研究了系统的行为，发现了稳定态的周期性分岔;而且，他又将参数μ变化的影响联系起来考察，看整体行为是什么样的。为此，他创造了一张图(图2－8)，横坐标是参数μ的变化历程;纵坐标是状态量X的值，是在某些参数下系统经过多次迭代达到平衡后的输出值。每个x值对应一个点，随μ值连续变化，点连结成线。对于μ＜μ₀的所有μ值，输出值都是0，所以连成一条与横轴重叠的线段;当μ₀＜μ＜μ₁，连成一条从左向右上升的线;当通过临界点μ1之际，输出两个输出值，此后线被一分为二;往后μ值连续增长，在各个分岔点处，线被分裂为4、8、16、32、…条。倍周期分岔就是现在输出值连线的分枝，一直分下去其形状就像一棵横躺着的无果树。当梅看到如此繁复的变化中竟有这般奇妙动人的有序性时，感到无限惊喜，并称之为“数学草丛中的蛇”。

图2－8　倍周期分岔示意图

令人惊奇的远不止于此。当参数μ增加到某个特定数值:

μ_∞=3．569945672

之后，分岔的规律突然崩溃了，连线没有了，输出值随机变化，数值点无规律地乱跳，混沌出现了。原本有规律的2ⁿ周期现象，变成了非周期的，或者说，由于=∞，变成无限长周期现象。混沌区的出现，像是分枝树上戴了一个“混沌帽”。

这一发现意义重大，梅把周期性分岔与混沌联系起来了。原来，倍周期分岔可导致混沌!混沌产生的机制或途径找到了，起码是找到了一种途径。