“虫口机器”μ调频

“虫口机器”μ调频

让我们接着考察下去，可以把μ看作是一台“虫口机器”上的调频“旋钮”。当μ＞3时，你可以判断出来，原来的n→n+1迭代的不动点都是不稳定的了。那么此后就没有稳定的定态了吗?不是的。因为n→n+ 1迭代的定态不稳定了，还有n→n+ 2迭代的以及更高间隔迭代的定态是稳定的。对于满足:

的定态，这意味着将f(x)=μx_n(1－x_n)连用两次，于是有:

这是个一元四次方程，有4个根，经解出后知，除原来的两个不稳定的根:之外，又增加了两个根。

可以判断出来，直到μ₂=1+≈3．4495之前这两个增根都是稳定的。这说明μ₁=3的临界点比μ₀=1更为复杂一些，从这个点开始出现了x值在两个不同的确定值之间交替蹦跳的现象，也就是说系统开始作周期性振荡了。因为是在两个值之间循环交替，称为2点周期或周期2解。在μ＜3时原本只有一个稳定解而不振荡，人们为了统一也称之为周期1解。这种周期解加倍的现象叫倍周期分岔，出现分岔的临界点又叫分岔点，或分枝点。当超过μ₂时又开始分岔，有4个稳定的定态解，系统在这4个态之间循环振荡，即出现4点周期。随着μ值的连续增加，陆续出现一系列的分岔点，μ₃、μ₄、μ₅…，在每个分岔点μ_n处，出现稳定的2ⁿ个点的周期。

如果你手头有一台电脑，甚至一台可编辑程序的计算器，可以试编个数值计算逻辑斯蒂函数的程序，给定参数μ的值，在区间(0，1)内随便取一个数作为x的初始值输入，然后进行迭代，经过一定的过渡过程后，就得到稳定的2ⁿ点周期运动。比如:

若取μ=2(＜μ₁=3)，则有平衡态0．5，为一点周期;

若取μ=2．4(＜μ₁=3)，则有平衡态0．5833，为一点周期;

若取μ=3．15(＞μ₁=3)，则有稳定的两点交替出现，为二点周期运动(图2－3):

图2－3　两点周期

若取μ=3．52(＞μ₂=3．4495)，则有稳定的4点周期运动(图2－4):

图2－4　四点周期

若取μ=3．55(＞μ₃=3．5441)，则有稳定的8点周期运动;

若取μ=3．565(＞μ₄=3．5644)，则有稳定的16点周期运动;

有兴趣的读者可以接着往下试验。不过运用几何作图来揭示上述迭代过程的各种行为，显得更为方便而且直观，介绍如下:

为了把每一次迭代的结果变成下一次的输入量，在图中取x_n为横轴，x_n+ 1为纵轴，并过原点作二轴夹角平分线，则线上的点都满足x_n+ 1=x_n，再作映射曲线x_n+ 1=f(μ，x_n)，但应注意的是，随着参数μ的增大，抛物线弯曲得越来越陡。然后依次做:

(1)在横轴任取一点x₀作为初值，过x₀作平行

于纵轴的虚线与曲线交于A₁(x₀，x₁)点，A₁的纵坐标即x₁;

(2)过交点A₁作平行于横轴的虚线与角分线交于B₁(x₁，x₁);

图2－5

(3)过B₁再作纵轴的平行虚线与曲线交于A₂(x₁，x₂)，A₂在纵轴的投影即x₂。重复操作，在曲线上依次有一系列交点A₁、A₂、A₃……在角分线上依次有一系列交点B₁、B₂、B₃……于是投影可以得到一系列的点x_n，形成一条轨道:x₀，x₁，x₂，…，x_i，x_i+1……图2－5、图2－6、图2－7分别给出μ=0．5、μ=2、μ=3．14的迭代情况。

图2－6

这一套说起来麻烦，做起来其实很简单，读者有电脑的话，不妨自己编个程序，用计算机做图试试。很有意义，也挺有趣。

也许会有读者问:这种数学上“算”出来的周期性现象，实际上真的存在吗?其实生物学家在对世界上千万个物种的统计研究中，早就发现了这种周期性兴衰的现象。例如，果树的收成往往以两年为周期，“大年”和“小年”交替轮换;我国某些地区的生猪产量，也是以两年为周期起落。又如，在冻土带，田鼠和旅鼠的数目就是以4年为周期交替兴衰的典范;动物毛皮收购的统计中，也有以4年为周期变化的情况。再如，蝗虫的世界性灾害，每隔大约10年就要发生一次。

图2－7