混沌的三大特征

混沌的三大特征

从上节所述的具体事例中，我们至少可以对混沌归纳出以下几个特征(混沌特征不止这些，其余的将在后面各章叙述):

(1)混沌是一种非线性的现象，是非线性方程的一种不规则的非周期性的振荡解。逻辑斯蒂方程是个非线性方程，如果其中非线性项μ₂与线性项μx相比很小而可以忽略，则退化为线性方程，这时现象简单，不会出现混沌现象。随着μ值的增加，非线性项比线性项增加得快，影响也越来越大，现象的复杂性也随之增加。当μ值增加到一定程度(超过临界值μ_∞)，非线性项的影响大到足以左右系统的行为，便产生了混沌。混沌是非线性效应，但非线性现象不一定全是混沌。一般描述非线性过程的非线性方程，它的解有三种类型:

①定态解:这是一个长期演化的极限终态，解的数值不再随时间变化，例如本例中满足x_n+1=x_n，即x^*=μx^*(1－x^*)的解;

②发散解:解的数值随时间无限增大，例如一个爆炸过程;

③振荡解:解的数值在一定范围内不停地变动。又分为两种情况:一种是周期性振荡，周而复始地重复变化，而且周期也是确定的;另一种是非周期的振荡，变动无确定的周期，也可以说周期无穷大，这就是我们所说的混沌解。一般线性方程的解，即使振荡也是周期性的，不会出现混沌，传统的科学主要处理线性过程和现象，对非线性当作次要因素看待，往往忽略掉了，即使认为不能丢掉，也因为数学计算的困难而放置一边。于是，混沌解长期被埋没，以至有人遇到了也因为它陌生不习惯而视而不见，这样的事例有很多，实在遗憾。

(2)系统长期行为对初始条件的敏感依赖性。从表1－1可直接看出，短期行为即迭代次数较小时，初值x₀的微小差别不会引起以后几代数值的大变动。但是对于长期行为，即迭代次数很大时，初值x₀的微小变动会引起计算结果的极大差别。这就是中国成语“差之毫厘，谬以千里”所表达的境况。西方有个民谣也生动地对这种现象进行了描述:

丢失一个钉子，坏了一只蹄铁;

坏了一只蹄铁，折了一匹战马;

折了一匹战马，伤了一位骑士;

伤了一位骑士，输了一场战斗;

输了一场战斗，亡了一个帝国。

马蹄铁上丢了一个钉子本来是微不足道的事情，但是其影响被逐级放大，后果越来越严重，竟然导致整个帝国灭亡的灾难性结局。一个系统的运行演化行为取决于两个因素，一个是由动力学方程所代表的运行演化规律，一个是初始条件。方程确定之后，一个初始条件就对应一条演化轨道(轨道上所有点都是将初始值代入方程后依时间顺序求得的)。两个相近的初始值引出的两条轨道，如果始终相互接近，则该系统对初始值改变不敏感;反之，如果开始相互接近，而经过长期演化之后，彼此背离很远的话，则称该系统对初始值的依赖是敏感的。可以证明，只有非线性系统才可能(非必定)具有这种敏感性，例如对于逻辑斯蒂映射，只有在参数μ＞μ_∞时才是对初值敏感的，在μ＜μ_∞时则是不敏感的;而一切线性系统对初值的依赖都是不敏感的。长期以来，人们默认或误认一切系统都是对初值不敏感的，当发现混沌之后，才恍然大悟，不得不修正这一观点了。

(3)确定性方程的内在随机性，即系统长期行为的不可预测性。随机性就是一种不确定性，就是一种无规性，就是一种不可准确预测性。例如掷骰子，永远是只能预期某点数向上的概率，永不可能根据前一次出现的点数准确预告下次出现的点数。混沌的随机性有所不同，它只是方程迭代次数足够大时出现的不确定性，即长期预测是不可能的，而短期预测还是可能的。这是因为混沌产生于确定性方程，系统的短期行为由此确定性方程准确确定。例如逻辑斯蒂方程，我们根据今年的昆虫数可以极好地预报明年以至后年的昆虫数，只是对十几年、几十年后无能为力罢了。这种确定性方程所产生的随机性，是系统本身固有的对偏差的放大功能所决定的，其随机强度是随着迭代次数的增加而增加的，它跟系统外界的无规干扰或背景噪声无关，所以是确定方程导致的系统内部的随机性。

另外，这种确定方程的内在随机性也不是绝对的混乱或完全随机。我们在下一章就能看到，混沌是有规律的，通向混沌有一定的道路，混沌内部也有特殊的结构，与杂乱无章并不等同，所以混沌是一种“貌似随机”。