揭秘素数循环节与纯元数的内在关系

3．揭秘素数循环节与纯元数的内在关系

前面提到的定理：大于5的素数p的循环节含有9的因数，F（m）含有素因数p，即·p＝9·F（m）（m个9），那么，9可以整除循环节，这就是循环节同纯元数的天然内在关系．现在通过实例进行实践应用．

素数29的循环节是0344827586206896551724137931，长度为28．循环节分解为素因数的积：

344827586206896551724137931＝3×3×11×101×239×281×4649×909091×121499449．

将素因数分成两组：3×3×11×101×239×909091与281×4649×121499449，

分别求积，得到3×3×11×101×239×909091＝2172510217251，　　 ①

与281×4649×121499449＝158723113690681．　　　　　　　　　　 ②

根据素数循环节的性质，有等式队列：

2172510217251×158723113690681×29＝9999999999999999999999999999

2172510217251×158723113690681×29×2＝19999999999999999999999999998

2172510217251×158723113690681×29×3＝29999999999999999999999999997

2172510217251×158723113690681×29×4＝39999999999999999999999999996

2172510217251×158723113690681×29×5＝49999999999999999999999999995

2172510217251×158723113690681×29×6＝59999999999999999999999999994

2172510217251×158723113690681×29×7＝69999999999999999999999999993

2172510217251×158723113690681×29×8＝79999999999999999999999999992

2172510217251×158723113690681×29×9＝89999999999999999999999999991

这个等式队列的左边看似复杂的数字相乘，“复杂”在于29的循环节素因数被分成不同的两组．等式队列的右边第一行是9的纯元数（28个9），如果除以9，就是1的纯元数（28个1）．现在我们探究29的循环节与28个1的纯元数F（28）的内在关系：

我们将29的循环节的素因数分解与28个1的纯元数的素因数分解进行比较：

344827586206896551724137931＝3×3×11×101×239×281×4649×909091×121499449，

1111111111111111111111111111＝29×11×101×239×281×4649×909091×121499449．

两者只有3×3同29不一样，其他素因数都相同．两者是“你中有我，我中有你”．

这也是素数乘以它的循环数得到9的纯元数的奥妙所在！！！我们将上面的分组的第①组的3×3改为29，其他不变，即

3×3×11×101×239×909091＝2172510217251→29×11×101×239×909091＝7000310700031．

可以得到与上面不同的等式队列，但是左边的一个因数以及右边却相同：

7000310700031×158723113690681×9＝9999999999999999999999999999

7000310700031×158723113690681×9×2＝19999999999999999999999999998

7000310700031×158723113690681×9×3＝29999999999999999999999999997

7000310700031×158723113690681×9×4＝39999999999999999999999999996

7000310700031×158723113690681×9×5＝49999999999999999999999999995

7000310700031×158723113690681×9×6＝59999999999999999999999999994

7000310700031×158723113690681×9×7＝69999999999999999999999999993

7000310700031×158723113690681×9×8＝79999999999999999999999999992

7000310700031×158723113690681×9×9＝89999999999999999999999999991

观察如下的“双肩挑”的等式队列构成的数字大厦：

20964360587×53＝1111111111111＝79×14064697609

20964360587×106＝2222222222222＝158×14064697609

20964360587×159＝3333333333333＝237×14064697609

20964360587×212＝4444444444444＝316×14064697609

20964360587×265＝5555555555555＝395×14064697609

20964360587×318＝6666666666666＝474×14064697609

20964360587×371＝7777777777777＝553×14064697609

20964360587×424＝8888888888888＝632×14064697609

20964360587×477＝9999999999999＝711×14064697609

当你看到这个“双肩挑”的等式队列的时候，也许会想：它是怎么来的？要解开它的奥妙，先用素因数分解的办法，从上到下抽取样本就能够解密．

素数53的循环节是0188679245283＝3×3×79×265371653，长度是13，纯元数F（13）分解素因数是F（13）＝1111111111111＝53×79×265371653．

将3×3暂搁一边，265371653×79＝20964360587，265371653×53＝14064697609，

两式的左边隐蔽起来，只出现20964360587与14064697609，各自乘以53与79就有了等式队列的第1行．

20964360587×53＝1111111111111＝79×14064697609，

因此，上述等式队列的来源是素数53的循环节与F（13）＝53×79×265371653的素因数组合构成．

第2行的106＝53×2，所以，等式队列的头9行是第1行依次乘以1、2、3、…、8、9而得．

以下的等式队列是由上面衍生出来的，可谓层出不穷．

看起来似乎有大量的计算．但是您仔细观察，找出数字排列规则，只需进行部分计算就可以得到等式队列．不过，一定要进行随机抽样验算，并且检查“队伍”是否整齐．

以下的等式队列是由上面衍生出来的，是谓“双肩挑”等式队列：

20964360587×106×9＝19999999999998＝9×158×14064697609

20964360587×159×9＝29999999999997＝9×237×14064697609

20964360587×212×9＝39999999999996＝9×316×14064697609

20964360587×265×9＝49999999999995＝9×395×14064697609

20964360587×318×9＝59999999999994＝9×474×14064697609

20964360587×371×9＝69999999999993＝9×553×14064697609

20964360587×424×9＝79999999999992＝9×632×14064697609

20964360587×477×9＝89999999999991＝9×711×14064697609

20964360587×477×99＝989999999999901＝99×711×14064697609

20964360587×477×999＝9989999999999001＝999×711×14064697609

20964360587×477×9999＝99989999999990001＝9999×711×14064697609

20964360587×477×99999＝999989999999900001＝99999×711×14064697609

20964360587×477×999999＝9999989999999000001＝999999×711×14064697609

20964360587×477×9999999＝99999989999990000001＝9999999×711×14064697609

20964360587×477×99999999＝999999989999900000001＝99999999×711×14064697609

20964360587×477×999999999＝9999999989999000000001＝999999999×711×14064697609

20964360587×477×9999999999＝99999999989990000000001＝9999999999×711×14064697609

20964360587×477×99999999999＝999999999989900000000001＝99999999999×711×14064697609

20964360587×477×999999999999＝9999999999989000000000001＝999999999999×711×14064697609

20964360587×477×9999999999999＝99999999999980000000000001＝9999999999999×711×14064697609

提供等式队列，请您揭开其中奥秘：

（1）等式队列

73×137＝10001　9901×101＝1000001

146×137＝20002　19802×101＝2000002

219×137＝30003　29703×101＝3000003

292×137＝40004　39604×101＝4000004

365×137＝50005　49505×101＝5000005

438×137＝60006　59406×101＝6000006

511×137＝70007　69307×101＝7000007

584×137＝80008　79208×101＝8000008

657×137＝90009　89109×101＝9000009

89109×909＝81000081

89109×9999＝891000891

89109×100899＝8991008991

89109×1009899＝89991089991

89109×10099899＝899991899991

89109×100999899＝8999999999991

89109×1009999899＝90000080999991

89109×10099999899＝900000890999991

89109×100999999899＝9000008990999991

（2）“双肩挑”的等式队列

101020202020101×99990001＝10101010101010101010101＝990000999901×10203030201

202040404040202×99990001＝20202020202020202020202＝1980001999802×10203030201

303060606060303×99990001＝30303030303030303030303＝2970002999703×10203030201

404080808080404×99990001＝40404040404040404040404＝3960003999604×10203030201

505101010100505×99990001＝50505050505050505050505＝4950004999505×10203030201

606121212120606×99990001＝60606060606060606060606＝5940005999406×10203030201

707141414140707×99990001＝70707070707070707070707＝6930006999307×10203030201

808161616160808×99990001＝80808080808080808080808＝7920007999208×10203030201

909181818180909×99990001＝90909090909090909090909＝8910008999109×10203030201

（3）素数353、449、641的循环节长都是32，可以得到如下的等式，请您揭开其中的奥秘，并且造就您的等式队列：

31476235442241107963487566887×353＝24746349913387775303142786439×449＝17334026694401109377708441671×641 188888887×578991258731089×158497×641＝188888887×578991258731089×226273×449

＝188888887×578991258731089×287809×353

提供1000以内素数循环节（长度不大于35的）及其素因数分解列表，作为素材，建造你自己的等式队列和数字大厦．

★素数循环节的素因数分解详见随书光盘

资料：素数循环节的素因数分解

（续表）

【注释】

[1]马长冰．种书集．福建：福建人民出版社．1996