多元线性回归模型的检验

4.3.2　多元线性回归模型的检验

1.复相关系数检验

类似于一元回归相关系数r，可以定义多元线性回归的多重相关系数R（又称为复相关系数），R是决定系数（又称为确定系数）R²的平方根。

决定系数R²是指在因变量Y的总平方和中，由自变量X引起的平方和所占的比例，其计算公式如下

S_残和S_回的计算公式见式（4－6）、式（4－7）。

显然，S_残→0时，R²→1，即实测值与模型预测值的差别十分小时，相关系数接近于1，即模型（4－13）非常准确。复相关系数可反映模型对实测数据的拟合程度。在实际应用时，不可片面追求过高的R²，否则会造成虽然模型对建模数据拟合很好，但预测效果不佳的现象。

2.方差分析和F检验

多元变量的方差分析见表4－4。

表4－4　方差分析表（n为实验数据数，m为自变量个数）

其中

将F与F的临界值F_{m，n－m－1}（α）来比较，当F＞F_{m，n－m－1}（α）时，即所有回归系数＝0原假设不成立，故可认为回归式（4－12）在α水平下

有意义，即认为该回归方程具有1－α的置信度。

3.残差分析

反映多元线性回归精度的估计公式为

需要强调的是，在回归分析时，不可为了追求大的R²（或r）和小的，在回归方程中引入过多的项数，使误差的自由度（n－m－1）为1甚至为0，这会使回归方程的预测功能大大降低。因此，回归分析的原始数据个数n必须足够大，使得误差的自由度（n－m－1）≥5，才能保证所得结论可靠。

例4－3　某种水泥在凝固时所释放的热量Y（cal·g^－1）与水泥中下列四种化学成分的含量有关

x₁——3CaO·Al₂O₃的含量（%）

x₂——3CaO·SiO₂的含量（%）

x₃——4CaO·Al₂O₃·Fe₂O₃的含量（%）

x₄——2CaO·SiO₂的含量（%）

共观测了13组数据，见表4－5。

表4－5　水泥中的化学成分含量与水泥凝固时的放热量数据

续表

在MATLAB下输入

Y＝［78.5；74.3；104.3；87.6；95.9；109.2；102.7；72.5；94.1；115.9；84.8；114.3；109.4］；

＞＞X＝［ones（13，1）x］%生成含常数列的自变量矩阵

＞＞［B，BINT，R，RINT，STATS］＝regress（y，X，0.05）

可得

根据B数组可确定此种水泥凝固时所释放的热量Y与其所含的四种物质含量间的多元线性回归关系为

根据STATUS数组的第一个元素值可知，多元线性回归方程（4－18）的决定系数R²＝0.978　64，统计参数F＝91.639。

由于本例中用于回归分析的数据点个数n＝13，自变量个数m＝4，故n－m－1＝13－4－1＝8，在MATLAB下输入命令

＞＞finv（0.95，4，8）

可得统计参数F的临界值F_4，8（0.05）＝3.84，则F＝91.639＞＞F_4，8（0.05）＝3.84，说明回归方程（4－18）可以通过统计检验。

但是，观察表4－5中的数据分布规律，变量x₃与Y是呈负相关关系的（其相关系数r＝－0.52），从图4－4可以直观地看出这点。

图4－4　自变量x₃与因变量Y的关系

因此，回归方程（4－18）虽然能通过统计检验，但其反映的自变量x₃与因变量Y之间的关系与实际数据间的规律不符。