猜想的另一个证明

2.猜想的另一个证明

EPSILON：我把我的定理分解为两个部分。第一部分规定回路空间和划界回路空间重合，当且仅当它们的维数一致。第二部分规定，如果回路空间和划界回路空间有相同的维数，则0－链空间的维数减去1－链空间的维数再加上2－链空间的维数等于2。

老师：第一部分是矢量代数一般的真定理。请证明第二部分。

EPSILON：没有比这再容易的了。我只需要回到有关的概念的定义就行了^[21]。首先，让我们写出关联矩阵。例如，让我们把四面体ABCD的关联矩阵的棱设为AD、BD、CD、BC、AC、AB，面设为BCD、ACD、ABD、ABC。矩阵值或0，依照属于或者不属于而定。所以我们的矩阵如下：

　η⁰　A　B　C　D

空集　 1　1　1　1

η¹　AD　 BD　 CD　 BC　 AC　 AB

A　　1　　0　　0　　0　　1　　1

B　　0　　1　　0　　1　　0　　1

C　　0　　0　　1　　1　　1　　0

D　　1　　1　　1　　0　　0　　0

η²　BCD　ACD　ABD　ABC

AD　　0　　1　　1　　0

BD　　1　　0　　1　　0

CD　　1　　1　　0　　0

BC　　1　　0　　0　　1

AC　　0　　1　　0　　1

AB　　0　　0　　1　　1

η³　　　ABCD

BCD　　　1

ACD　　　1

ABD　　　1

ABC　　　1

现在，在这些矩阵的帮助下，回路空间和划界的回路空间能够被轻易地刻画了。我们已经看到k－链是真正的矢量

现在我们把－胞形的边界定义为

（这个——像下面所有公式一样——只是用符号对我们旧的定义重写。）

k－链的边界是

那么，一个k－链是一个k－回路，当且仅当

（1）对于每一个i，有。

一个k－链是划界的k－回路，当且仅当它是某（k＋1）－链的边界，即，当且仅当存在系数γ_m（m＝1，…，N_k＋1），使

（2）。

那么，显然回路空间和划界的回路空间是等同的，当且仅当它们的维数是等同的，即，当且仅当N_k－1个齐次线性方程（1）的独立解数等于非齐次线性方程组（2）的独立解数。根据已知的线性代数的定理，第一个数是N_k－ρ_k，这里ρ_k是的秩；第二个数是ρ_k＋1。

所以，我只需要证明，如果N_k－ρ_k＝ρ_k＋1，那么V－E＋F＝2

LAMBDA：或者，“如果N_k＝ρ_k＋ρ_k＋1，那么，N₀－N₁＋N₂＝2”。N_k是某些矢量空间的维数，ρ_k是某些矩阵的秩。这就不再是关于多面体的，而是关于某多维矢量空间的集的定理了。

EPSILON：我知道你刚刚睡醒。当你睡着的时候，我分析了我们关于多面体的一些概念，并且表明它们实际上都是矢量代数概念我把属于欧拉现象里原来的观念都翻译为矢量代数，以此来呈现它们的本质。当下我无疑是在证明矢量代数的一个定理，它是以完全被认可的术语表述的清晰明白的理论，拥有简洁且毋庸置疑的公理以及简洁且毋庸置疑的证明。比如，看看我们过去多次讨论的定理的新的普通的证明：如果N_k＝ρ_k＋ρ_k＋1，那么，N₀－N₁＋N₂＝ρ₀＋ρ₁－ρ₁－ρ₂＋ρ₂＋ρ₃＝ρ₀＋ρ₃＝1＋1＝2。现在谁还敢怀疑这一定理的确定性？如此，我就以毋庸置疑的确定性证明了欧拉的有争议的定理^[22]。

ALPHA：但是，看看这儿，Epsilon，如果我们已经接受了一个与之抗衡的约定顶点没有边界，以四面体的情况为例，矩阵η0将是

η⁰　A　B　C　D

　　 0　0　0　0

其秩ρ⁰将会是0，并且因此V－E＋F＝ρ₀＋ρ₃＝1。你不认为你的“证明”太多依靠约定了吗？你选择你的约定难道不就是为了挽救定理吗？

EPSILON：我的关于ρ⁰的公理不是一个“约定”。在我的语言中，ρ₀＝1有非常真实的意义，它指每一对顶点都划界，也就是棱的网状结构是连通的（环形面因此被排除）。“约定”这一表述全然是误导。对于带有单连通面的多面体，ρ₀＝1为真，ρ₀＝0为假。

ALPHA：哼。你好像是说ρ₀＝1和ρ₀＝0都描述了矢量空间中的某一结构。差别是，ρ₀＝1在带有单连通面的多面体中有真实的模型，而另一个却没有。