素朴的猜想

（e）以引理并入法改进猜想。证明生成的定理VS.素朴的猜想

老师：我们且回到画框的问题上。我自己是承认它是欧拉猜想名副其实的全局反例的，并且承认它是对我的证明中第一引理的一个名副其实的局部反例。

GAMMA：对不起，先生——这画框又是怎样驳倒第一引理的呢？

老师：首先移走一个面，然后努力将其平铺拉伸在黑板上。你不会成功的。

ALPHA：为助您的想象一臂之力，我要告诉您，有且仅有那些可吹胀成球形的多面体才有以下性质：在移走一面后，你可将余下部分平铺拉伸在一个平面上。

显然，这样的“球形”多面体在切掉一面后是可以平铺拉伸在一个平面上的；反之，同样明显的是，如果一个多面体减去一面后是可以平铺拉伸在一个平面上的，你就可以将它捏成一个圆形瓶，随后再将遗下的一面盖上去，而得到一个球形多面体。不过，您的画框永不能吹胀成球形；仅能成一圆环。

老师：妙哉。现在，我不同于Delta，我承认这个画框是对猜想的一个批评。所以，我抛弃了原始形式的猜想，认为它不对。但我马上要提出一个加了限定的修改版，即是说：笛卡儿－欧拉猜想对“简单”多面体，即对在移去一面后，能平铺拉伸在一平面上的多面体而言，仍然适用。于是，我们便拯救了原假设的一部分。我们有：一个简单多面体的欧拉示性数为2。这论题不会被嵌套立方体、孪生四面体、星状多面体证伪了——因为它们全都不是“简单的”。

因此，例外排除法是将主猜想与自认有错的引理的范围均限制在一个普通的安全论域中，由此而承认这些反例既是对主猜想、又是对证明的批评，我的引理并入法则是肯定了证明，而将主猜想的论域刚好缩小为自认有错的引理的论域。或者说，一个全局兼局部的反例逼使例外排除者修改引理与原猜想，而它只逼使我修改原猜想，不修改引理。你明白吗？

ALPHA：是的，我想我明白了。为表示我明白，我要反驳您。

老师：反驳我的方法还是反驳我改进后的猜想？

ALPHA：您改进后的猜想。

老师：那么你还是没有懂得我的方法。不过，且让我们见识你的反例。

ALPHA：考虑一个立方体，其顶上置有一个略小的立方体（图12）。这吻合我们所有的定义——定义1、2、3、4、4′、5——所以它是一个货真价实的多面体。因为它能平铺拉伸于一个平面上，它又是“简单的”。于是，根据您修改后的猜想，其欧拉示性数应为2。然而，它有16个顶点、24条棱、11个面，它的欧拉示性数是16－24＋11＝3。它是你改进后的猜想的全局反例，顺便说说，它亦是Beta的第一“例外排除”定理的全局反例。这个多面体，虽无空腔、隧道或“多重结构”，却是非欧拉式的。

DELTA：就叫这饰顶立方体为反例6吧^[45]。

图12

老师：你已证伪了我改进后的猜想，可你并未摧毁我改进的方法。我当重新检验这证明，看看它为何溃败在你的多面体面前。在这证明中，必另有一错误的引理。

BETA：当然是有的。我总是怀疑第二引理。它预设了在三角形化的过程中，每画一条新的对角棱，你便总使棱数与面数各增加一。这是错误的。若我们看我们的饰顶多面体的平面网状结构，便会发现一个环状面（图13（a））。此情形下，只画一条对角棱不会增加面数（图13（b））：我们要使面数增加一，需要添上两条棱（图13（c））。

图13

老师：恭喜你说中了。我肯定必须更进一层地限制我们的猜想了……

BETA：我知道您要做什么。您要说，“三角形化的简单多面体都是欧拉式的”。您把三角形化看成天经地义；您会把这一引理又变为一个条件。

老师：非也，你错了。在具体指出你错在何处之前，我要详述我对你的例外排除法的评论。你将你的猜想限制在一个“安全”论域时，你未彻底地检验证明，并且，就达到你的目的而言，你事实上并不需要如此做。随意地说不论是何引理，在你的有限论域中统统皆真对你的目的来说已够用了。可对我来说，却还不够。我正是要把那条被反例驳倒的引理建到猜想之中，所以，在对证明作一番仔细分析的基础上，我必须把那条引理辨认出来并且尽可能地表述清楚。这样，便可把被驳倒的引理并入我改进后的猜想中。你的方法并不强迫你苦心经营你的证明，因为证明并不出现在你改进后的猜想中与我的情况相反。现在我回到你的建议上。被环状面证伪的那条引理，并不像你似乎认为的是“所有面皆三角形化的”，而是“任一面都被对角棱一分为二”。正是这个引理，我要把它变为一个条件。我称满足它的面为“单连通的”，进而能够对我的原猜想作第2次改进“对一简单多面体，当其所有面单连通时，有V－E＋F＝2。”你的陈述之所以鲁莽失言，乃因你的方法并不教给你仔细的证明分析。证明分析有时是琐碎平凡的，但有时的确有很大难度。

BETA：我明白您的意思了。我也应对您的评论加上一个补注，算是自我批评，因为我以为，这一举揭示了各种态度的例外排除的整个连续统。最坏的情况，就是只排除一些例外，而全然未看证明。所以便出现我们一面有证明，一面又有例外的迷惑。在这类原始例外排除者的心目中，证明与例外在两个完全分开的隔间里存在其他一些人也许现在指出说，证明只在限制后的论域中有效，于是便声称驱散了疑云。但是，他们的“条件”仍同证明思想无关，是外加的^[46]。更能干的例外排除者会迅速瞅一瞅证明，而像我刚才一样，灵机一动，就说出决定一个安全论域之范围的条件了。最优秀的例外排除者对证明作一番仔细的分析，并以此为基础，极精细地描绘出禁区的界线。实话实说，从这方面看，您的方法不过是例外排除法的一个极限情况罢了……

IOTA：……并且它展示了证明与反驳根本的辩证统一性。

老师：我希望现在你们都瞧见了，即便证明也许并不证明什么却的确可以帮助我们改进猜想^[47]。例外排除者固然也改进它，但改进的过程却独立于证明的过程。我们的方法就是以证明来改进。“发现的逻辑”与“证明为正当（justification）的逻辑”之间的这种内在统一性是引理并入法最重要的一面。

BETA：我现在自然理解您那些莫名其妙的评论了，就是您前面说的，您对既“已证”又遭驳倒的猜想，并不觉得忧虑而困惑，又说您甚至愿意“证明”一个错误的猜想。

KAPPA［旁白］：实质上是“只改不证”^[48]，为何又以“证明”之名来称呼？

老师：你们听好了，少有人会有这样做的倾向。由于根深蒂固的探试法教条，大多数数学家都不能同时出发去证明与反驳一个猜想。他们要么证明它，要么反驳它。而且，如若猜想碰巧是他们自己提出的，他们便尤其不可能通过反驳来改进猜想。他们想不经反驳，就改进他们的猜想；从不借助错误之减少，而一味借助真实性之单调增加；这样他们便净化了知识的发展过程，免除了对反例的恐惧。这或许便是最优秀的一类例外排除者的方法背景：他们开始的时候，先“稳扎稳打”地为“安全”论域设计一个证明，继而让它经受彻底的批判性考察，看看他们是否已使用了每一个强加的条件。如否，他们便把他们适中的定理初版“更加完美”或“广义化”，即具体指出证明所依赖的引理，而后把它们并入猜想。譬如，在一两个反例出现后，他们或许会构想一个临时的例外排除定理：“所有凸多面体是欧拉式的”，把非凸的例子留待日后回收（cura posterior）；次而他们便设计出柯西证明，接着，又发现证明并未真正“使用了”凸性，他们便建立起引理并入定理^[49]！这一过程将临时的例外排除与逐次证明分析、引理并入结合在一起，从探试论的角度说并没有什么不妥。

BETA：这一过程当然不是废止批评，它只不过是将批评挤入后台罢了：他们不径直批评夸夸其谈，而去批评谦逊之辞。

老师：我欣喜万分，Beta，我说服了你。Rho和Delta，你们对此又作何感想呢？

RHO：我个人自然认为，“环状面”的问题是个伪问题。两个立方体焊接为一，成了您所称的“饰顶立方体”。您对它的面与棱是什么作了一种怪异的解释，这问题方才出现的。

老师：请解释之。

RHO：“饰顶立方体”是由相互焊接在一起的两个立方体组成的多面体。您同意吗？

老师：我不介意你这样说。

RHO：现在您错解了“焊接”。棱连接着小立方体的底正方形的顶点与大立方体的顶正方形的相应顶点，此之谓“焊接”。所以根本不存在什么“环状面”。

BETA：环状面就在那儿啊！你所说的剖分棱并不存在！

RHO：在你未经训练的眼睛前，它们自然隐藏起来了^[50]。

BETA：你指望我们认真对待你的论点吗？难道我看见的只是迷信，而你的“隐藏”棱反是实在的？

图14　环状面三说：

（a）德荣奎埃版；（b）马蒂森版；（c）“未经训练的眼睛”版

RHO：且看此盐的晶体。你要说这是个立方体？

BETA：当然。

RHO：一个立方体有12条棱，是不是？

BETA：是啊，有12条棱。

RHO：可这立方体上根本没有任何棱。它们都隐藏起来了经过你的理性重建，它们才出现了。

BETA：我会想想这一点。有件事是明朗的。老师批评我自以为是地以为我的方法可获致确定性，也批评我丢开了证明。这些批评也丝毫不亚于适用于你的“怪物校正”，如同适用于我的“例外排除”一样。

老师：Delta，你呢？你要如何驱走环状面呢？

DELTA：我不会这样做。您说服了我，我已皈依了您的方法我只是想知道，您何不把忽略掉的第三引理确定下来，并且也把它并入猜想？我提出第四个表述，但愿是最后一个：“所有满足以下条件之多面体皆为欧拉多面体：（a）简单；（b）每一面皆单连通；（c）在平铺拉伸与三角形化得出的平面三角形化网状结构中，可以给三角形编上号，以编号后的正确顺序移走它们时，V－E＋F之值不变，直到剩下最后一个三角形。”^[51]我不懂您何以不立即提出此点？若您是真正严肃地对待您的方法，您已经立马把所有的引理变为条件了何以还有这种“一步一步地操作”呢^[52]？

ALPHA：保守党变成革命派了！我深觉你的建议过于乌托邦化。因为决不只有三条引理。为何不加上许多其他的条件，如“（4若1＋1＝2”，及“（5）若所有三角形皆有三个顶点与三条棱”，因为我们肯定要用上这些引理？我提议，我们只把已发现反例的引理变为条件。

GAMMA：作为一个方法论规则，我认为这太没有定准了，我难以接受。我们不如并入所有我们能预料到反例的引理，也就是那些还不是明显地、毫无疑义地为真的引理。

DELTA：哦，有人觉得我们的第三引理明显吗？把它变做第三个条件吧。

GAMMA：如若我们的证明的各条引理所表示的操作不尽相独立，会怎么样呢？如果这些操作的一部分行得通，也许余下部分便必定是必然行得通的。我自己倒是猜测，若一个多面体是简单的，就总存在删去所得平面网状结构内的三角形的一种顺序，使得V－E＋F之值不变。而若这种顺序存在，将第一引理并入猜想后，我们就不用麻烦把第三个并入了。

DELTA：你说第一个条件蕴含了第三个。你可以证明吗？

EPSILON：我能^[53]。

ALPHA：不论实际的证明何等有趣，也帮不了我们解决问题要改进我们的猜想，我们须熬到什么时候？你声称有的证明，我尽可承认你有——但那不过是把第三引理论分解为几个新的子引理罢了。我们现在要把这些子引理再变作条件吗？我们究竟应于何时罢休？

KAPPA：证明中有一种无穷回归（infinite regress）现象；故证明并不行其证明之实。你要看清楚，证明是一种游戏，你有兴致，就玩一玩，你玩腻了，停手便是。

EPSILON：不，这不是游戏，是件严肃的工作。平常的真引理可以阻止无穷回归，它们不需要转变为条件。

GAMMA：正合我意。平常的真的原理可证的引理，我们并不将它们转变为条件。之前已具体指出的引理——或许是得这些平常的真的原理之助——可证的引理，我们也不将它们并入。

ALPHA：同意！我们已将两条非平常的引理变为条件后，便可于此时停止改进我们的猜想。事实上，我确以为，这种靠引理并入的改进方法，是无瑕疵的。对我来说，它不但改进，并且完善猜想。我从中学到的重要道理是：断言“‘证明题’的最后目标不是说明某个清晰表述的主张为真，便是说明其为假”^[54]，这是不对的。“证明题的真正目标应是去改进——实际上，是完善——原始的、“素朴的猜想，使其成为一个名副其实的“定理”。

我们的素朴猜想是“所有的多面体皆为欧拉多面体”。

怪物排除法保卫这个素朴猜想，方法是重新解释其语词，使得我们最后有一个怪物排除定理：“所有多面体皆为欧拉多面体。”不过虽然怪物排除定理的语言表述与素朴猜想一个样，背后却靠语词意义的鬼鬼祟祟的变换，把实质的改进隐藏起来。

例外排除法引进了一个确与论证无关的元素：凸性。例外排除定理是：“所有凸多面体都是欧拉多面体。”

引理并入法取决于论据——即证明——而不取决于其他。它实质上将证明总结在了引理并入定理中：“所有带单连通面的简单多面体都是欧拉多面体。”

这表明（现在我使用“证明”一词的传统含义），人们并不证明其欲着手证明者。所以，没有一个证明应以这样的字眼结尾：“证毕（Quod erat demonstrandum）^[55]。”

BETA：有人说，在发现的顺序中，定理先于证明：“在证明一条数学定理前，你得先猜出它。”其他人否定之，并称，发现的进程是从一组指定前提得出结论，以及注意到有趣的结论——如果你足够幸运，能找到的话。或者，用我一个朋友的令人愉快的比喻来说，有的人说在演绎的结构中，探试法之“拉链”由下而上拉，由底——结论——而至顶——诸前提^[56]，其他人则说其由上而下拉，由顶而至底。你站在哪一边呢？

ALPHA：你的比喻对探试法无效。发现并不朝上走或朝下走而走的是一条蜿蜒曲折的路线：它受到反例的刺激后，便从素朴猜想移到前提处，接着再转回来删去素朴猜想，而代之以定理。素朴猜想与反例并不出现在成熟的演绎结构中：发现的蜿蜒曲折的路线在成品中岂可辨出。

老师：妙哉斯言。不过我们要加上点补充，以示提醒。定理并不总是不同于素朴猜想。我们不一定需要以证明来改进。如果证明思想发现了素朴猜想的未曾料及的方面，而这些方面接着出现在定理中，证明便起改进之功。但在成熟的理论中，情况便可能不是这样。当然，这确实是年轻的、发展中的理论的情况。发现与核正改进与证明的相互纠缠主要是后一种理论的特征。

KAPPA［旁白］：成熟的理论可以恢复活力。发现永远要取代核正，此大势所趋也。

SIGMA：这一分类法与我的不谋而合！我的第一种命题是成熟型，第三种命题是发展型的……

GAMMA［打断他］：定理是错的！我发现它的一个反例了。