立体角的概念与计算

8.1.1　立体角的概念与计算

由于光源或接收器都是向空间一定范围内辐射或接收光能量的，因此有关光能的研究和计算均涉及空间的立体角。具体说，立体角是用于描述辐射能向空间辐射、传输或被某一接收器表面接收时的发散或会聚的角度。类似于平面角可将整个空间以某一点为中心划分为若干个立体角。称任意一个封闭锥面所包围的空间部分为锥面顶点处的立体角，以ω表示。

若以锥面顶点O为球心，作一任意半径r的球面，锥面在球面上所截出的球面部分面积为S，则S与r²的比值即为此立体角的大小，表为（见图8.1（a））：

对元立体角，应有：

图8.1　空间立体角的表示与计算

当锥面在半径为r的球面上截出的面积为r²时，则r²面积球面对球心的张角即为单位立体角，或称之为“立体弧度”，或称之为“球面度”，以符号sr表示。

显然，围绕球心的整个空间的立体角应为

以平面为边界的空间部分所对应的立体角为2πsr。

以坐标原点O为顶点、由小四面锥体所围成的元立体角dω的计算方法如图8.1（b）所示。dω在球面上所截的元面积dS其位置由空间极坐标r、φ及θ所决定，当dθ很小时，由abcd所决定的面元dS可视为小矩形。显然，应有

dS=ab×ad=rsinθdφ×rdθ=r²sinθdθdφ　　　　　　　　　（8.3）

将上式代入式（8.2），则得到计算空间任意方位元立体角的普遍公式：

由于在光学系统中通常均用平面角U来表示孔径角，因此需要导出平面角U与立体角ω之间的转换关系式。如图8.2所示，若平面角为U，求其对应的立体角ω，可将式（8.4）代至如下的二重积分式求出

当U角很小时，则有，因而上式变为

ω≈πu²（sr）　　　　　　　　　（8.6）

显然，当dθ的积分限从θ=0到θ=π时，则得到整个空间的立体角为4πsr。

式（8.5）与式（8.6）是有实用意义的两个重要公式。公式表明，立体角近似地与孔径角U的平方成正比。因此，当增大孔径角U时，可使进入系统的光能按平方关系增加。例如，经常遇到的一种问题是，确定从一个向四周均匀发光的点光源所辐射的光通量中，有多大的百分比能进入数值孔径为sinU的聚光镜中。这个问题实质上是求光源光能的利用率，若以η_ω表示，则有

显然，由上式看出，在由光源与聚光镜所组成的照明系统中，实际能进入聚光镜的光通量只占光源发出的全部光通量中的很小一部分。即使采用孔径角很大的聚光镜，其利用率仍然很低。为提高光能利用率，在对光能要求较高的投影放映系统中，常在光源后方加一球心位于O点的球面反射镜（见图8.3虚线），以使按原路反射回的光线也能进入聚光镜。

图8.2　平面孔径角（U）与立体角（ω）的关系

图8.3　提高光能利用率的措施

表8.1给出了按不同孔径角U计算的立体角ω值及占整个空间立体角的百分数。