随机误差的处理原则

（1）随机误差的置信度

对于服从正态分布的随机误差，除用贝塞尔公式等方法求出标准差以表征其分散离程度外，还需要估计测量误差落在某一对称的数值区间（－a，a）内的概率，该数值区间称为置信区间，其界限称为置信限。随机误差落在该置信区间的概率称为置信概率或置信水平，如P＝0．9，表明测量的随机误差有90%的可能性落在该置信区间内。置信区间和置信概率合起来说明了测量结果的可靠程度，称为置信度。显然，置信限a越宽，测量误差落在置信区间内的概率越大。

由于随机误差δ在某一区间出现的概率与标准差σ的大小密切相关，故一般把置信限a取为σ的若干倍，即

式中 k——置信系数或置信因子。

根据式（2．7），可得测量误差落在某区间的概率表达式为

当k值确定之后，则置信概率可定。以正态分布为例（表2．1），给出了几个典型的k值及其相应的置信概率。

表2．1 k值及其相应的置信概率

图2．5反映了置信区间与相应置信概率的关系。

由表2．1可知，当k＝1，置信区间为（－σ，σ），相应的置信概率P＝0．683，这意味着大约每3次测量中有一次测得值的随机误差落在置信区间之外。

当k＝2，置信概率P＝0．954，这意味着大约每22次测量中有一次测得值的随机误差落在置信区间之外。

当k＝3，置信概率P＝0．997，这意味着大约每370次测量中有一次测得值的随机误差落在置信区间之外。因测量次数通常不会超过几十次，因此可认为绝对值大于3σ的随机误差是不可能出现的。

（2）多次重复测量的极限误差和测量结果的表示

多次重复测量的结果可用下式表示为

式中 ——测量值的算术平均值；

——测量极限误差；

——算术平均值标准差；

k——置信因子。

图2．5 置信区间与相应置信概率

若标准差σ已知，则可取定置信概率P，按正态分布来确定k（若取P＝0．9544，则k＝2，若取P＝0．9973，则k＝3，可见表2．1）；若标准差未知，用贝塞尔公式求出标准差的估计值代替σ，且置信因子k按t分布确定（请查阅相关手册）。在测量结果后应标注所取定的置信概率P。

例2．1 对某工件的尺寸进行了10次等精度测量，测得值为10．0050、10．0053、10．0054、10．0048、10．0051、10．0057、10．0052、10．0050、10．0061、10．0062mm。事先未知测量列的标准差，试写出测量结果。

解 因标准差事先未知，置信因子k按t分布确定。

取定置信概率P＝0．99，显著水平α＝0．01，自由度γ＝n－1＝10－1＝9，查t分布表得置信因子k＝3．2498。

测量列的算术平均值为

由贝塞尔公式（2．13）得测量列算术平均值的标准差的估计值为

测量的极限误差为

测量结果可表示为