伯努利概型

前面介绍了两种概率模型：古典概型和几何概型．本节介绍的伯努利概型也是一种常见的概率模型．

1．伯努利试验

在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A是否发生．例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等等．在这一类随机试验中，只有两个基本事件A与，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验．

为方便起见，在一次试验中，把出现A称为“成功”，出现称为“失败”．通常记P（A）＝p，P（）＝1－p＝q．

2．n重伯努利试验

把一重伯努利试验E独立地重复地进行n次，各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其他各次试验的结果，这样的试验称为n重伯努利试验．重复是指每次试验中成功的概率不变；独立是指n次试验独立进行．

定理1．3．6 在n重伯努利试验中，若事件A在一次试验中发生的概率为p，设

P（A）＝p，P（）＝q＝1－p，则在这n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

证明 设事件Bk＝｛n重伯努利试验中事件A恰好发生k次｝，

Ai＝｛第i次试验中事件A发生｝，＝｛第i次试验中事件A不发生｝，i＝1，2，…，n，则Bk应该是n次试验中恰好有k次事件A发生，其余n－k次事件A不发生的一切可能事件的和，即

Bk＝项，且两两互不相容．

由试验的独立性可知

P

例1．3．16 设某种药对某种疾病的治愈率为80％，现有10名患有这种疾病的病人同时服用这种药，求其中至少有6人被治愈的概率．

解 每一病人服用这种药可以看作是一次试验，试验结果只有两种可能：治愈或未治愈．因为各个病人是否被治愈是相互独立的，所以10个病人服用这种药就是10次独立试验．于是

这个结果表明，服用这种药的10个病人中至少有6人被治愈的可能性是很大的．