随机变量产生的方法

产生随机变量的方法有多种,对于给定的随机变量,可根据其特点选择其中一种或几种方法。常用的产生随机变量的方法有反变换法、组合法、卷积法及舍选法。在离散事件系统仿真中,产生随机变量的方法主要是反变换法和卷积法。

1.反变换法(反函数法)

反变换法是最常使用且最直观的方法,它以概率积分变换定理为基础,设随机变量x的分布函数为F(x),为了得到随机变量的抽样值,先产生在[0,1]区间上均匀分布的独立随机变量u,由反分布函数F^-1(u)得到的值即为所需要的随机变量x=F^-1(u)。事实上,我们有

　　P(Ykengdielt;y)=P((u)kengdielt;y)

=P(ukengdielt;F_x(y))=F_x(y)=P(xkengdielt;y)

　　这种方法是对分布函数进行反变换,因而取名为反变换法。

如产生服从负指数分布的随机数x。负指数分布密度函数为f(x)=λe^-λx(x≥0),其分布函数由下式算得:

　　F(x)=λe^-λxdx=1-λe^-λx,x≥0

　　易得F(x)的反函数为x=-ln(1-F(x))。设U为均匀分布,则

　　x=-ln(1-u)

　　即为所求的随机数。又因u是[0,1]上均匀分布的随机数,所以(1-u)也是[0,1]上均匀分布的随机数,故上式可简化为

　　x=-lnu

　　这样,就得到了负指数分布的随机数。

2.卷积法

设随机变量x可表示为若干个独立同分布的随机变量Y₁,Y₂,…,Y_m之和,即

　　x=Y₁+Y₂+…+Y_m

　　则x的分布函数与Y_i的分布函数相同,此时称x的分布为Y_i分布的m重卷积,那么,为产生x,可先独立地从相应分布函数产生随机变量Y₁,Y₂,…,Y_m,然后利用上式可得到x,这就是卷积法。

由于均值为β的m维爱尔朗Erlang(m,β)的随机变量可表示为m个均值为β/m的独立的指数随机变量之和,故可以采用卷积法产生x,其步骤如下:

①独立地产生m个U(0,1)随机数u_i;

②用反变换法分别产生Y_i

　　Y_i =-lnu_i　(i=1,2,…,m)

　　③令x=Y_i=Y₁+Y₂+…+Y_m

即得到了爱尔朗分布的随机数。

思考题

1.试比较离散事件系统的三种仿真策略。

2.如何进行输入数据的统计分析?

3.某公共汽车站按规定从上午6:40至上午8:40内每20min有一班公共汽车到站,某个乘客不了解其调度规律,而是每天早上7:00到7:30均匀地随机到达车站,问旅客等待公共汽车时间多于5min的概率是多少?

4.已知自助餐馆中从开始排队列至自服务之间的时间服从μ=12,σ²=9的正态分布,问到达顾客等待10到15min的概率是多少?