确定型存储控制模型

1.模型一:不允许缺货,生产时间很短

在研究、建立模型时需要作一些假设,目的是使模型简单、易于理解、便于计算。为此作如下假设:

①缺货费用无穷大;

②当存储降至零时可以立即得到补充(即生产时间或到货时间很短,可以近似地看作零);

③需求是连续的、均匀的,设需求速度R(单位时间的需求量)为常数,则t时间的需求量为Rt;

④每次订货量不变,订购费不变(每次生产量不变,装配费不变);

⑤单位存储量不变。

由于可以立即得到补充,所以不会出现缺货,在研究这种模型时不再考虑缺货费用,只需考虑存储费用和订货费用。假设每隔时间t补充一次存储,那么订货量必须满足t时间的需求Rt,记订货量为Q,Q=Rt,订货费为C₃,货物单价为K,则订货费为C₃+KRt。t时间的平均订货费为C₃/t+KR,t时间内的平均存储量为Rt/2,单位存储费用为C₁,t时间内所需平均存储费用为RtC₁/2。t时间内的平均费用为C(t)。C(t)=+KR+C₁Rt。

对公式利用导数求极值的方法有,令t₀=

得到:=-+C₁R=0

即每隔t₀时间订货一次可使订货费用最小。

订货批量Q₀=Rt₀=

该公式即存储论中著名的经济批量公式(Economic Ordering Quantity),简称EOQ公式。由于Q₀,t₀皆与K无关,所以此后在费用函数中略去KR这项费用。可求出最佳费用为:

　　C₀=C(T₀)=+C₁R₁=C₃C₁R=

2.模型二:不允许缺货,生产(补充)需一定时间

本模型的假设条件,除生产(补充)需要一定时间的条件外,其余条件皆与模型一的相同。

设生产(补充)批量为Q,所需生产(补充)时间为T,则生产速度为P=Q/T。已知需求速度为R,Rkengdielt;P,生产(补充)的产品一部分满足需求,剩余部分才作为存储,此时存储变化如图3-9所示。

图3-9　不允许缺货,生产需一定时间的确定型存储模型

在[0,T]区间内存储以(P-R)速度增加,在[T,t]区间内存储以速度R减少。T,t皆为待定数。从图中可知(P-R)T=R(t-T)即PT=Rt(等式表示以速度P生产T时间的产品等于t时间内的需求),并求出T=Rt/P。

t时间内的平均存储量为:(P-R)T/2

t时间内所需存储费为:C₁(P-R)Tt/2

时间内所需装配费为:C₃

单位时间总费用(平均费用)为:

　　C(t)=[C₁(P-R)Tt+C₃]=[C₁(P-R)]+C₃

　　设minC(t)=C(t₀),利用微分法可求得:t₀=

图3-9中,t表示周期,所求出的t₀为最佳周期,相应的生产批量为:Q₀=,Q₀即为该种模式下的EOQ(经济订货批量)。

最小成本为:minC(t)=C(t₀)=

利用t₀可求出最佳生产(补货)时间:T₀=Rt₀/P=

进入存储的最高数量为:

　　S₀=Q₀-RT₀=-R=

可以看到当P=R时,最优存储量为∞,总成本为零,这就是企业追求零库存的原因。

3.模型三:允许缺货(缺货需补足),生产时间很短

本模型是允许缺货,并把缺货损失定量化加以研究。由于允许缺货,企业可以在存储降至零后,可以再等一段时间后订货。这就意味着企业可以少付几次订货的固定费用,少支付一些存储费用。当顾客遇到缺货时不受损失,或损失很小,而企业除支付少量的缺货费用外也无其他损失,这时发生缺货现象对企业有利。

本模型的假设条件除允许缺货外,其余条件皆与模型一相同。

设单位存储费用为C,每次订购费为C₃,缺货费为C₂(单位缺货损失),R为需求速度。求最佳存储策略,使平均总费用最小。如图3-10所示。

图3-10　允许缺货(缺货需补足),生产时间很短的确定型存储模型

假设最初存储量为S,可以满足t₁时间的需求,t₁时间的平均存储量为S/2,在(t-t₁)时间的存储为零,平均缺货量为R(t-t₁)/2。由于S仅能满足t₁时间的需求,S=Rt₁,有t₁=S/R。

在t时间内所需存储费为:C₁·St₁=C₁

在t时间内缺货费为:C₂·R(t-t₁)²=C₂

订货费为:C₃

平均总费用为:C(t,S)=[C₁+C₂+C₃]

利用多元函数求导数法求C(t,S)极值得:

　　S₀=

代入C(t,S),得minC(t,S)=C₀(t₀,S₀)=

在不允许缺货情况下,订货量Q₀=Rt₀,即Q₀=允许。

在允许缺货情况下,存储量只需达到S₀即可。

在允许缺货条件下,经过研究而得出存储策略是每隔时间t₀订货一次,订货量为Q₀,用Q₀中的一部分补足所缺货物,剩余部分进入存储。很明显,在相同的时间间隔里,允许缺货的订货次数比不允许缺货的订货次数减少了。

4.模型四:允许缺货(需补足缺货),生产需一定时间

假设条件除允许缺货生产需一定时间外,其余条件皆与模型一相同。

其存储变化如图3-11所示。

图3-11　允许缺货(需补足缺货),生产需一定时间的确定型存储模型

取[0,t]为一个周期,设t₁时刻开始生产;

[0,t₂]时间内存储为零,S表示最大缺货量;

[t₁,t₂]时间内除满足需求外,补足[0,t₁]时间内的缺货;

[t₂,t₃]时间内满足需求后的产品进入存储,存储量以速度(P-R)增加。S表示存储量,t₃时刻存储量达到最大,t₃时刻停止生产。

[t₃,t]时间存储量以需求速度减少。

由图3-11易知:最大缺货量B=Rt₁,或B=(P-R)(t₂-t₁);

即得t₁=t₂

最大存储量:S=(P-R)(t₃-t₂),或S=R(t-t₃)。

在[0,t]时间内所需存储费为:C₁(P-R)(t₃-t₂)(t-t₂)

在[0,t]时间内所需存缺货费为:C₂Rt₁t₂

订货(装配)费为:C₃

在[0,t]时间内总平均费用为:

　　C(t,t₂)=[C₁(t-t₂)²+C₂+C₃]

=[C₁t-2C₁t₂+(C₁+C₂)]+

利用导数法求极值,进一步求解得到:

　　Q₀=Rt₀=

最大存储量为:

　　S₀=R(t₀-t₃)=R(t₀-t₀-t₂)

最大缺货量为:

　　B₀=Rt₁=t₂=

最小成本为:

　　minC(t₀,t₂)=C₀=

　　将模型三与模型一、模型四与模型二分别比较后可以看到在允许缺货的情况下成本将下降为不允许缺货情况下的倍,因而允许缺货会带来成本的减少,同时也会带来服务质量的下降。同样将模型二与模型一、模型四与模型三分别比较后可以看到,在生产需一定时间的情况下成本将下降为生产时间很短情况下的倍,因而生产需一定时间的情况较优。