歌德巴赫猜想

歌德巴赫猜想

什么是哥德巴赫猜想呢？

哥德巴赫猜想大致可以分为两个猜想：

1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；

2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

哥德巴赫猜想来源何处呢？

1729年一1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。

在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：

我的问题是这样的：

随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：

77=53+17+7：

再任取一个奇数，比如461，

461=449+7+5.

也是这三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。

但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是一个别的检验。

欧拉回信说：“这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。”

不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：

2N+1=3+2（N-1），其中2（N-1）≥4

若欧拉的命题成立，则偶数2（N-1）可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。

这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是科学史上最传奇的历史。

到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称9+9。需要说明的是，这个9不是确切的9，而是指1，2，3，4，5，6，7，8，9中可能出现的任何一个。又称为“殆素数”，意思是很像素数。与哥德巴赫猜想没有实质的联系。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。“充分大”陈景润教授指大约是10的500000次方，即在10的后面加上500000个“O”，是一个目前无法检验的数。所以，保罗赫夫曼在《阿基米德的报复》一书中的35页写道：充分大和殆素数是个含糊不清的概念。

在陈景润之前，关于偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和（简称“s+t”问题）之进展情况如下：

1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。

1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。

1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。

1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”，“4+9”。“3+15”和“2+366”。

1938年，前苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。

1940年，前苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。

1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是～很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了“3+4”。

1957年，中国的王元先后证明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中国的潘承洞和前苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。

1965年，前苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3”。

1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。

1978年，中国的陈景润证明了：

……p-1……1……N

r（N）=＜7.8π—π（1-）—

……P>2.PIN……P>2

其中：r（N）为将偶数表为两个素数之和n=p+p、的表示个数，即：偶数

中符合哥德巴赫猜想的素数的个数。公式给出了数量小于的界限值。

π表示各参数连乘，1n表示取自然对数，2表示取平方数。

第一个n的参数P是大于2的且属于该偶数的素因子的素数。

第二个n的参数P是大于2且不大于、/N的素数。

例女Ⅱ：10=3+7=5+5=7+3；r（10）=3。12=5+7=7+5；r（12）=2。

已知：

第一个n的数值是分子大于分母，大于1。

第二个π的数值是孪生素数的常数，其2倍数就=1.320..大于1。

N/（1nN）是计算N数内包含的素数的个数，（1/InN）素数与数的比例。

为什么民间数学家们如此醉心于哥猜，而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？

一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思都很困难。而哥德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。

数学界普遍认为，这两个问题的难度不相上下。

民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决哥德巴赫猜想。退一步讲，即使哪天有一个人，在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想，有什么意义呢？这样解决，恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。

当年柏努力兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅克布？柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂，但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的。

同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理，但却不公布自己的方法。别人问他为什么，他回答说：“这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它？”的确，在解决费尔马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等。

所以，现代数学界在努力的研究新的工具，新的方法，期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论。